Integral

När det gäller bråk med andragradsfunktioner i nämnaren kan det vara idé att faktorisera nämnaren och partialbråksuppdela. Om det inte finns reella faktorer i nämnaren så kan det hjälpa att kvadratkomplettera den. 

Dr. G skrev :

När det gäller bråk med andragradsfunktioner i nämnaren kan det vara idé att faktorisera nämnaren och partialbråksuppdela. Om det inte finns reella faktorer i nämnaren så kan det hjälpa att kvadratkomplettera den. 

$\int \frac{x}{(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}}$ Såhär i sådanafall, men hur fortsätter man? Eller funkar det här? : $\int \frac{x}{x^2+x+1}=\int \frac{x\left(1\right)}{x(x+1+{\displaystyle \frac{1}{x}})}=\int \frac{1}{(x+1+{\displaystyle \frac{1}{x}})}=\ln \left|x+1+\frac{1}{x}\right|+C$

Från ditt första kvadratkompletterade uttryck så sätt t = (x + 1/2)^2. Sedan får man trixa lite. Det är ju inte riktigt dt man har i täljaren, men nästan. 

Hej!

Om du deriverar polynomet i nämnaren så får du polynomet 2x +1. Detta kan du använda som en ledtråd till hur du kan forma om integranden på ett smart sätt.

    $\displaystyle \frac{x}{x^2+x+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{x^2+x+1} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2x+1}{x^2+x+1}-\frac{1}{x^2+x+1})$.

Nu blir integralen lika med

    $\displaystyle \int \frac{x}{x^2+x+1} \,\text{d}x = \frac{1}{2}\ln |x^2+x+1| - \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2+x+1} \,\text{d}x$.

Albiki

Hej!

En kvadratkomplettering låter dig skriva den kvarvarande integralen så här.

    $\displaystyle \int \frac{1}{x^2+x+1}\,\text{d}x = \int \frac{1}{(x+0.5)^2 + \sqrt{0.75}^2}\,\text{d}x$.

Albiki