Integral

Hur kom du fram till det du kom fram till?

Har du prövat med att använda partiell integration?

Vad vet man om $\theta$? Svaret stämmer inte för t.ex. $\theta = 0$. 

Jag antar att det gäller att $\theta>1$?

Annars blir nämligen integralen divergent.

Låt $t=1+x$ och använd $c$ istället för heaviside-reserverade $\theta$.

$\int_0^R \frac{xc}{(1+x)^{c+1}}\, dx=\int_1^{R+1}\frac{(t-1)c}{t^{c+1}}\, dt=c\int_1^{R+1}(t^{-c}-t^{-c-1})\,dt$

$\lim_{R\to\infty}c[(\frac{t^{1-c}}{1-c}+\frac{t^{-c}}{c})]_1^{R+1}=-\frac{c}{1-c}-1=\frac{1}{c-1}$

Be till gudarna att $c>1$

Skaft skrev:

Vad vet man om $\theta$? Svaret stämmer inte för t.ex. $\theta = 0$. 

Theta får bara vara 2, 3 eller 4. 

tomast80 skrev:

Jag antar att det gäller att $\theta>1$?

Annars blir nämligen integralen divergent.

Theta måste vara 2, 3 eller 4. 

Jroth skrev:

Låt $t=1+x$ och använd $c$ istället för heaviside-reserverade $\theta$.

$\int_0^R \frac{xc}{(1+x)^{c+1}}\, dx=\int_1^{R+1}\frac{(t-1)c}{t^{c+1}}\, dt=c\int_1^{R+1}(t^{-c}-t^{-c-1})\,dt$

$\lim_{R\to\infty}c[(\frac{t^{1-c}}{1-c}+\frac{t^{-c}}{c})]_1^{R+1}=-\frac{c}{1-c}-1=\frac{1}{c-1}$

Be till gudarna att $c>1$

Hur gjorde du när du räknade ut detta? Förstår inte varför du ändrat gränserna...

Variabelbyte påverkar såväl integrand som gränser.
$t=1+x, \quad dt=dx$.
Gränser: $\quad x=0\Rightarrow t=1,\quad x=R\Rightarrow t=R+1$.

Efter variabelbyte och termuppdelning:

$\displaystyle\theta\int\limits_{1}^{R+1}(\dfrac{t}{t^{\theta +1} }-\dfrac{1}{t^{\theta +1}})\,dt$. O s v.