Integral

Du har då

$\int \frac{du}{u(u+1)}$

Prova att partialbråksuppdela. 

Jag har inte börjat med det. Så tyvärr måste jag jobba med substitution

För att fortsätta här så ser jag inte att man kan komma runt partialbråksuppdelningen. 

Alternativt:

$\frac{1}{e^x+1}=\frac{1+e^x-e^x}{e^x+1}=$

$1-\frac{e^x}{e^x+1}=$

$\frac{d}{dx}(x-\ln (e^x+1))$

tomast80 skrev:

Alternativt:

$\frac{1}{e^x+1}=\frac{1+e^x-e^x}{e^x+1}=$

$1-\frac{e^x}{e^x+1}=$

$\frac{d}{dx}(x-\ln (e^x+1))$

Hängde inte med

Jag var inne på en hemsida och där visade de hur man kan göra (se bild ovan) men jag hängde ändå inte med, nån som kan förklara?

Gör först följande substitution:

$\int \frac{1}{e^x+1}dx=\left\{\begin{array}{l}u=e^x+1\\ du=e^{x}dx\to dx=\frac{1}{u-1}du\end{array}\right\}=\int \frac{1}{u(u-1)}du$

Bryt sedan ut $u$ ur parentesen och substituera uttrycket inom parentesen:

$$\begin{gathered} \int \frac{1}{u^2(1-{\displaystyle \frac{1}{u}})}du=\left\{\begin{array}{c}v=1-\frac{1}{u}\\ dv=\frac{1}{u^2}du\end{array}\right\}=\int \frac{1}{v}dv=\ln \left(v\right) \\ \ln \left(v\right)=\ln \left(1-\frac{1}{u}\right)=\ln \left(1-\frac{1}{e^x+1}\right)=\ln (\frac{e^x+1}{e^x+1}-\frac{1}{e^x+1})=\boxed{ \ln \left(\frac{e^x}{e^x+1}\right) } \end{gathered}$$

Om du nu studerar det inrutade har du att det blir på den form tomast80 skrev där du kunde tillämpat analysens huvudsats om du utvecklar det längre:

$\ln \left(\frac{e^x}{e^x+1}\right)=\ln \left(e^x\right)-\ln (e^x+1)=x-\ln (e^x+1)$