Integral

Fredrikottenfelt skrev :

Funktionen y = cos x approximeras med y = 1 - kx 2 så att areorna enligt nedanstående figur blir lika. Bestäm konstanten k.

 

Vet ej hur jag ska fortsätta. I slutändan ska uttrycket likställas med 1.

Kan du ladda upp en bild på uppgiften med figur?

Yngve skrev :

Fredrikottenfelt skrev :

Funktionen y = cos x approximeras med y = 1 - kx 2 så att areorna enligt nedanstående figur blir lika. Bestäm konstanten k.

 

Vet ej hur jag ska fortsätta. I slutändan ska uttrycket likställas med 1.

Kan du ladda upp en bild på uppgiften med figur?

Ursäkta för snea bilder.

Kontrollera dina uträkningar. Parabelintegralens värde blir $\sqrt{\frac{1}{k}}\cdot (1-\frac{1}{3})=\frac{2}{3\sqrt{k}}$

Yngve skrev :

Kontrollera dina uträkningar. Parabelintegralens värde blir $\sqrt{\frac{1}{k}}(1-\frac{1}{3})=\frac{2}{3\sqrt{k}}$

Ja, jag har försökt att få just till det. Men vet ej hur :(

Fredrikottenfelt skrev :

Yngve skrev :

Kontrollera dina uträkningar. Parabelintegralens värde blir $\sqrt{\frac{1}{k}}(1-\frac{1}{3})=\frac{2}{3\sqrt{k}}$

Ja, jag har försökt att få just till det. Men vet ej hur :(

Det enklaste sättet att se det är nog att bryta ut x ur din primitiiva funktion innan du sätter in integrationsgränserna, dvs skriv den primitiva funktionen på formen $x\cdot (1-\frac{kx^2}{3})$.

Men det är ju självklart! Jag testar imorgon och återkommer med frågor om det blir knas :D

Tusen tack för hjälpen!

Hej

Ett alternativt sätt är att du löser ekvationen:

$2{\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\cos \left(x\right)dx=2{\int }_0^{\frac{1}{\sqrt{k}}}(1-k{x}^2)dx$

jonis10 skrev :

Hej

Ett alternativt sätt är att du löser ekvationen:

$2{\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\cos \left(x\right)dx=2{\int }_0^{\frac{1}{\sqrt{k}}}(1-k{x}^2)dx$

Ja det är också en alternativ lösning! Jag undrar ifall det är lättare än min metod?

Det finns många olika lösningsförslag till den här uppgiften, men frågan är vilken lösning som är mest ändamålsenlig?

Det är väl som att välja mellan tolv stycken eller ett dussin. 

Jag förstår inte skillnaden mellan de båda metoderna.

Jonis10 föreslår att ställa upp och lösa ekvationen $2I_1=2I_2$, där värdet av $I_2$ beror av k.

Du beräknar istället först värdet av $I_1$ och sätter sedan det lika med värdet av $I_2$, som beror av k.

Båda metoderna ger till slut en enkel ekvation för k.

Jag anser att jonis skrivsätt var mycket tydligare än mitt, även om mitt också verkar vara korrekt. Sen är det ju svårt att ge en generell lösning till denna uppgift, men jag eftersträvar alltid den metod som är tydligast. Sen är ju tydlighet en definitionsfråga... man kan ju tolka uppgifter olika.

Var lite otydligt eftersom bilden var vriden för mig och kollade inte så pass noga. Men som Yngve säger så är metoden lika. 

Har du lyckas lösa uppgiften?

jonis10 skrev :

Var lite otydligt eftersom bilden var vriden för mig och kollade inte så pass noga. Men som Yngve säger så är metoden lika. 

Har du lyckas lösa uppgiften?

Ja. lyckades! Men fick problem med en ny uppgift...

Edit: Fick fel svar haha!

Blir halvt galen!

Edit 2: Jag hade glömt att förenkla roten ur ett haha! Den blev bra!

Okej, nej...

Nu blir det istället $4\frac{\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{k}}}}{3}$...

$A_1=2\cdot I_1$ och $A_2=2\cdot I_2$.

$A_1=A_2$ ger att $2\cdot I_1=2\cdot I_2$, dvs $I_1=I_2$

$I_1={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\cos \left(x\right)dx=\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)-\sin \left(0\right)=1$

$I_2={\int }_0^{\frac{1}{\sqrt{k}}}(1-k{x}^2)dx=\left(\frac{1}{\sqrt{k}}(1-\frac{k·({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k}}}{)}^2}{3})\right)-0=\frac{1}{\sqrt{k}}\left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3\sqrt{k}}$

$I_1=I_2$ ger nu att $1=\frac{2}{3\sqrt{k}}$, dvs $k=\frac{4}{9}$

Yngve skrev :

$A_1=2\cdot I_1$ och $A_2=2\cdot I_2$.

$A_1=A_2$ ger att $2\cdot I_1=2\cdot I_2$, dvs $I_1=I_2$

$I_1={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\cos \left(x\right)dx=\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)-\sin \left(0\right)=1$

$I_2={\int }_0^{\frac{1}{\sqrt{k}}}(1-k{x}^2)dx=\left(\frac{1}{\sqrt{k}}(1-\frac{k·({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k}}}{)}^2}{3})\right)-0=\frac{1}{\sqrt{k}}\left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3\sqrt{k}}$

$I_1=I_2$ ger nu att $1=\frac{2}{3\sqrt{k}}$, dvs $k=\frac{4}{9}$

Du är en hjälte!

Jag kom även på att jag endast valt att beräkna ena sidan av y-axeln, vilket gör att jag måste likställa integralen med 2 för att likheten ska stämma...

Tusen tack för tålamodet!