Integral
a) Bestäm värdet av (b - a) då C antar sitt största värde.
b) Bestäm vilket värde (b - a) maximalt kan anta då C = 0 Svara med minst en decimal.
Denna uppgift har behandlats tidigare men jag behöver hjälp med en specifik grej som hänvisades till i en annan tråd som var jättelång.
a) Jag inser att C kan ses som en area under grafen 7x - x - 10 från a till b. Denna ska vara så stor som möjligt. Nollställena är 5 och 2 så arean blir så stor som möjligt om jag integrerar mellan dessa. Så b är 5 och a är 2. b - a = 3, vilket är korrekt svar.
b) För det första ska C vara 0. Vad innebär det? Jo, det innebär att arean A ska vara lika stor som C och B. a och b ska vara så långt ifrån varandra som möjligt också för ju mindre a är desto bättre och ju större b är desto bättre. Men drar jag ut dem för långt så blir ju C mindre än 0. Om man kan placera ut b så tänker jag att man bör kunna placera ut a relativt enkelt för då har man nåt att utgå ifrån. Jag fick inte till det, kollade på lösningsförslaget och där stod att man ska ha en insikt om att a och b hamnar så långt ifrån varandra som möjligt om de är lika långt från symmetrilinjen x = 3,5.
Det är just detta jag inte förstår. Kan någon hjälpa mig att förstå detta? Frågan är alltså varför man maximerar avståndet mellan a och b just då de är lika långt ifrån symmetrilinjen. Varför inte istället ha b vid 5 och a lite till vänster så det blir samma area. Hur vet man att det skulle ge ett mindre avstånd mellan a och b alltså?
Bra resonemang på båda uppgifterna!
Ju längre ifrån symmetrilinjen du går i x-led desto brantare lutning har kurvan. Långt från symmetrilinjen ger en liten ändring i värdet på x en stor ändring i integralens värde. Eftersom du vill maximera (b-a) bör du därför välja dessa punkter symmetriskt kring maximipunkten.
Du kan själv testa att dra i reglagen a och b i desmos.
Tack fner!
Medan du skrev svaret så började jag finna en slags intuitiv tanke som jag skrev ned. Är det korrekt resonemang? Jag ska prova reglagen i desmos.
Låt oss säga att b är på x=5. a placeras någonstans till vänster om x=2 för att få C i uppgiften vara lika med 0. Om vi flyttar på linjen b en enhet åt höger, då måste vi kompensera för detta genom att flytta linjen a lite åt höger. Men linje a kommer inte att flytta lika snabbt eftersom att den "ökar" arean snabbare än b minskade arean ty det lutar mer längre ned på funktionen. Så man fortsätter flytta linjerna så tills det att man har nåt punkterna där de är lika långt ifrån symmetrilinjen. Därefter, om man skulle fortsätta flytta linjerna till höger, då skulle b behöva flyttas långsammare medan a flyttas lika snabbt. Och då minskar avståndet mellan linjerna.
Ja men precis. Om du till exempel sätter b=6 så kräver det att a=3,7 för att få C=0. Då är avståndet bara 2,6 längdenheter. Om du istället utgår från symmetrilinjen och flyttar en längdenhet utåt i taget kan du få ett avstånd på hela 5,2 längdenheter.
Då för jag in följande i Wolfram Alpha:
integral_(3.5 - c)^(3.5 + c) (7 x - x^2 - 10) dx = 0
c är alltså avståndet från symmetrilinjen till respektive integrationsgräns a och b.
c får då tre lösningar. -2.6, 2.6 och 0.
0 kan inte vara svaret för då hamnar a på b och vi har inte maximerat avståndet mellan dem. -2.6 och 2.6 funkar båda två. De sätter ut linjerna 2.6 l.e. från symmetrilinjen.
Och därmed blir b - a = 5.2. Det är svaret på uppgiften.
En fråga: Är det tillåtet att använda ett digitalt verktyg som så då jag använde Wolfram Alpha nu? Eller måste man själv integrera det där jag skrev in där?
Det är möjligt att det går att lösa algebraiskt, men det blir lite bökigt i detta fall. Men jag kan inte avgöra om det är en uppgift som är tänkt att lösas grafiskt. Kan tänka mig att man kan ha tillgång till Geogebra/Desmos under provsituationer men knappast Wolfram Alpha.
Aha! Tack så mycket!
Jag kom på nu att en grej man kan ställa in på Desmos är att a=3.5-(b-3.5). Sedan drar jag i b tills den blir 6.1 för då är värdet av integralen närmast 0.
Jag har en egen gammal tråd om denna uppgift och jag måste säga att jag tycker den är rätt kass. Det finns ingen riktig anledning i lösningsförslagen till att man ska välja och så förutom "kÄnsLa". Känslan har ofta fel!
EDIT: och det går att lösa algebraiskt. Men det är väldigt omständligt.
