Integral

Termen cos t kommer från derivatan y'(t) av y(t) = sin t i parametriseringen r(t).

Låt oss påminna oss om definitionen av en kurvintegral.

Kurvintegralen av ett fält F(r) = (P(r), Q(r)) = (P(x, y), Q(x, y)) längs en kurva C med parametrisering r(t) = (x(t), y(t)), a <= t <= b är definierad som

${\int }_a^{b}F\left(r\right(t\left)\right)·r\text{'}\left(t\right)dt = {\int }_a^{b}P\left(x\right(t), y(t\left)\right)·x\text{'}\left(t\right) + Q\left(x\right(t), y(t\left)\right)·y\text{'}\left(t\right)dt$.

Kurvintegralen ovan brukar betecknas som ${\int }_{C}Pdx + Qdy$.

När vi beräknar kurvintegralen ${\int }_{C}xdy$ så är F = (P, Q) = (0, x), dvs. att P = P(x, y) = P(x(t), y(t)) = 0 och Q = Q(x, y) = Q(x(t), y(t)) = x(t). Vår parametrisering ges av r(t) = (x(t), y(t)) = (sin 2t, sin t).

En direkt applicering av definitionen av en kurvintegral med P(x, y) = P(x(t), y(t)) = 0 och Q(x, y) = Q(x(t), y(t)) = x(t) ger då att

${\int }_{C}xdy = {\int }_0^{\mathrm{\pi }}0 + Q\left(x\right(t), y(t\left)\right)·y\text{'}\left(t\right)dt = {\int }_0^{\mathrm{\pi }} \sin 2t·y\text{'}\left(t\right)dt = {\int }_0^{\mathrm{\pi }} \sin 2t·\cos tdt$.