Integral

Sätt t=-x².

2x e^t 

Det blir två olika variabler. Hur ska jag fortsätta? Tack på förhand!

Nej, du glömmer en viktig del i din substitution. Du måste även byta vilken variabel du integrerar med avseende på.

Dvs: 

dt/dx=-2x => dt=-2x dx => 1/-2x dt = dx

${\int }_0^{\infty }2x{e}^t\frac{1}{-2x}dt ={\int }_0^{\infty }-e^{t}dt$

Du glömde från början att ha med dx i integralen.

mrpotatohead,

Antar att detta är en form av variabelsubstitution? Inget vi har gått igenom vad gäller integraler. Antar att det ska kunna lösas på ett annat sätt?

Laguna,

Ja det gjorde jag. Redigerat nu. 

Enklast blir det om man ser att integranden sånär som på ett minustecken är

g'(x)*e^g(x) där g(x) = -x²

En primitiv funktion blir därför, nästan, e^g(x)

Det enda man måste justera är ett minustecken!

Ture skrev:

Enklast blir det om man ser att integranden sånär som på ett minustecken är

g'(x)*e^g(x) där g(x) = -x²

En primitiv funktion blir därför, nästan, e^g(x)

Det enda man måste justera är ett minustecken!

Hänger tyvärr inte med.

plusminus skrev:

Ture skrev:

Enklast blir det om man ser att integranden sånär som på ett minustecken är

g'(x)*e^g(x) där g(x) = -x²

En primitiv funktion blir därför, nästan, e^g(x)

Det enda man måste justera är ett minustecken!

Hänger tyvärr inte med.

Derivatan av en sammansatt funktion,

dvs derivatan av den yttre funktionen multiplicerat med derivatan av den inre funktionen.

När man har en integral med lite krånglig integrand, som i det här fallet, kan det vara listigt att se om det möjligen kan vara derivatan av en sammansatt funktion vi ser.

I ditt fall:

ser vi 2x multiplicerat med en exponentialfunktion, $e^{-x^2}$,

$e^{-x^2}$, är en sammansatt funktion, där den inre funktionen -x² har derivatan -2x.

Din integrand består alltså nästan av en inre derivata (2x) multiplicerat med derivatan av en sammansatt funktion. (betänk att derivatan av e^x är e^x .) Det vi måste justera för att få det stämma är ett minustecken.

Vi provar, vad får vi om vi deriverar $e^{-x^2}$, jo:  $-2x*e^{-x^2}$

Då kan vi se att vår integral blir

${\left[-e^{-x^2}\right]}_0^{\infty }$

Man ska vara uppmärksam på den här möjligheten när man ser lite krångliga integrander som består av produkter av två funktioner, särskilt om det ingår trigonometriska uttryck eller funktioner med e höjt till något.

En speciell situation har man när man ser en kvot av två funktioner, när täljaren råkar vara derivatan av nämnaren. Då ska man direkt tänka: kan den primitiva funktionen vara en ln(nämnaren) ?

Några exempel att träna på:

2sin(x)cos(x)

sin(x)/cos(x)

Ture skrev:.

Derivatan av en sammansatt funktion,

dvs derivatan av den yttre funktionen multiplicerat med derivatan av den inre funktionen.

När man har en integral med lite krånglig integrand, som i det här fallet, kan det vara listigt att se om det möjligen kan vara derivatan av en sammansatt funktion vi ser.

I ditt fall:

ser vi 2x multiplicerat med en exponentialfunktion, $e^{-x^2}$,

$e^{-x^2}$, är en sammansatt funktion, där den inre funktionen -x² har derivatan -2x.

Din integrand består alltså nästan av en inre derivata (2x) multiplicerat med derivatan av en sammansatt funktion. (betänk att derivatan av e^x är e^x .) Det vi måste justera för att få det stämma är ett minustecken.

Vi provar, vad får vi om vi deriverar $e^{-x^2}$, jo:  $-2x*e^{-x^2}$

Då kan vi se att vår integral blir

${\left[-e^{-x^2}\right]}_0^{\infty }$

Tack för ditt utförliga svar. Hur ska man se detta? (Tänker allmänt och vid liknande frågor kunna avgöra om det är så eller partiell som gäller)

Man ska vara uppmärksam på den här möjligheten när man ser lite krångliga integrander som består av produkter av två funktioner, särskilt om det ingår trigonometriska uttryck eller funktioner med e höjt till något.

En speciell situation har man när man ser en kvot av två funktioner, när täljaren råkar vara derivatan av nämnaren. Då ska man direkt tänka: kan den primitiva funktionen vara en ln(nämnaren) ?

Några exempel att träna på:

2sin(x)cos(x)

sin2x

sin(x)/cos(x)

Hur blir det med denna?

f(x) = 2sin(x)cos(x) = F(x) = sin²(x) Yes, det var rätt

f(x) = sin(x)/cos(x)  tips: vad är derivatan av ln(cos(x)) ?

f(x) = 2sin(x)cos(x) = F(x) = sin2x , inte sin²(x) väl?

f(x) = sin(x)/cos(x)  ,

1/cosx gånger -sinx , om jag inte är ute och cyklar.

plusminus skrev:

f(x) = 2sin(x)cos(x) = F(x) = sin2x , inte sin²(x) väl?

---

f(x) = sin(x)/cos(x)  ,

1/cosx gånger -sinx , om jag inte är ute och cyklar.

Ja, så F(x) = - ln(cos(x)) 

Hur ska man avgöra om det är partiell integration som gäller eller om det är sådana integraler som #1 och exemplet du gav (2sinxcosx)

plusminus skrev:

Hur ska man avgöra om det är partiell integration som gäller eller om det är sådana integraler som #1 och exemplet du gav (2sinxcosx)

Det går ofta att lösa uppgifter på olika sätt, vissa kanske lättare än andra, men inget är direkt fel, om man kommer i mål.

Att se hur man hittar en primitiv på enklast sätt lär man sig bäst genom att öva. Så småningom känner man igen mönster som exvis i den här uppgiften.

Tack för hjälpen!

Ett stort antal inlägg med spam, irrelevanta inlägg och svar på dessa har rensats bort, för att hålla trådens innehåll relevant och läsbart. /Smutstvätt, moderator