Integral

natureleven23 skrev:

uppgiften är att bestämma det minsta värdet som själva integralen kan få när 0≤k≤2pi

Här är integralen 

Du behöver ej beräkna integralen. 

Sätt 

I(k)=integralen.

Du söker när I'(k)=0 på intervallet [0,2π] och glöm ej verifiera minimum med tkn-studium.

Tänk på att I'(k)=cos(k)-1/4.

Integralen som jag visade råkade skrivas fel, det ska vara cosx-1/2

Jag förstår att man ej behöver beräkna integralen eftersom då får man en primitiv funktion som man ska derivera, vilket till slut ger samma funktion som man hade i början, i detta fall cosx-1/2. 
hittar extrempunkt:

cosx-1/2=0

x=cos^-1(1/2)=pi/3

hur kommer jag vidare?

Du måste bestämma samtliga lösningar till cosx-1/2=0 i intervallet 0 till 2pi.

Det är fel i formalia, det borde vara cos(k) -1/2 = 0, inte x

Hur ska jag bestämma samtliga lösningar? Dessutom så är pi/3 inte en lösning enligt facit 

om cos(x) = 1/2 är 

x = pi/3 eller x = -pi/3 (dvs 5pi/3)

Då har du fått fram derivatans nollställen, men du ska bestämma funktionens minsta värde

(Funktionen är den lösta integralen, derivatan är integranden)

Ska jag derivera cos(x) = 1/2

Nej,

Du ska lösa den här uppgiften på exakt samma sätt som du löser liknande uppgifter där man frågar efter max eller min.

Dvs

1  - Sök funktionens derivatas nollställen
2 - Avgör om något av derivatans nollställen ger ett lokalt max eller min i funktionen
3 - Bestäm funktionens värde för de x som som du bestämde enligt ovan.
4 - kontrollera om randen är ett max eller min

I det här fallet är funktionen din integral

Funktionens derivata är cos(k)-1/2 som har nollställena k = pi/3 och 5pi/6 i intervallet. Då är du klar med punkt 1.

För att kunna komma vidare med med punkt 2 måste du beräkna integralen.

Jag får att integralen är =-pi

vad gör jag med detta värde?

Visa hur du räknat

Har du koll på vad vi gör här?

Vi har en Integral där en av gränserna (kallas k i uppgiften) är okänd.

Vi ska bestämma för vilket värde på k som integralen får sitt minsta värde för 0 <= k <= 2pi

För det deriverar du integralen och söker derivatans nollställen, vilket du har fått till pi/3 och 5pi/3.

Sen har du deriverat en gång till och konstaterar att andraderivatan > 0 för k = 5pi/3 vilket talar för att  funktionen (dvs integralen) har ett lokalt minimum där.

Nu återstår att bestämma vilket värde funktionen har för 5pi/3 och dessutom kontrollera randpunkterna dvs 0 och 2pi för att sedan avgöra vilken av dessa tre som ger det minsta värde på funktionen

Okej låt oss ta det från början för att jag känner mig virrig.

Jag tänker att integralen cos(x)-1/2 med gränserna 0,t ger att sin(k)-k/2. f’(t)= cos (t)0 för att identifiera extrempunkter.   t=+-pi/3+n•2pi

var fås 5pi/3, ingår det ens i intervallet?

Vad gör jag därefter?

f(x) = cos(x) - 1/2

Integralen beräknas;

A(k) = sin(k)-k/2

Vi söker minimum på intervallet [0,2π]

A'(k) = cos(k)-1/2

A'(k)=0 ger k=π/3 och 5π/3

A''(k) = -sin(k) och A''(π/3)<0 och A''(5π/3)>0 varför k=5π/3 ger ett minimum som är A(5π/3)=-Sqrt3/2-5π/6

Tusen tack för hjälpen, hur vet du att ditt andra nollställe är 5pi/3, i mitt formelblad står bara pi/3