integral

Integrering av en jämn funktion från -a till a är samma sak som att integrera från 0 till a och sedan dubbla det resultatet. Ser du det geometriskt?

Ser du att integranden är en jämn funktion?

okej så vi får två eftersom vi endast har noll till oändlighet så vi dubblar eftersom vi hade minus oändlighet till noll också?

sedan är jag lite oklar över lösningen, jag gjorde variabelbytet $t=\sqrt{x}, dt=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx$ och skrev sedan integralen som $\int \frac{2}{1+t^2}dt =2arc\tan \left(t\right)+c=2arc\tan \left(\sqrt{x}\right)+c$

sätter man sedan in gränserna får vi integralen $2{\int }_0^{\infty }\frac{1}{\sqrt{x}\left(1+x\right)}dx$

Sedan ser jag i facit att dom satt $\frac{lim}{R\to \infty ,r\to 0^{+}}2{\int }_r^R\frac{1}{\sqrt{x}{\displaystyle \left(1+x\right)}}dx$

men sedan får dom $4{{\left|arc\tan \left(\sqrt{x}\right)\right|}^R}_r$

jag förstår inte varför vi får 4 arctan nu, det var ju 2 arctan förut

Har du ritat upp funktionen så att du ser att den är symmetrisk?

ja jag ritade funktionen och ser att den aldrig blir noll men förstår fortfarande inte varför man går från 2arctan till 4 arctan

som första steg satte facit $2{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{\sqrt{\left|x\right|}\left(1+x\right)}dx$

och sedan får vi $2arc\tan \left(\sqrt{x}\right)+C$

jag är med tills man byter till $2{\int }_r^R\frac{1}{\sqrt{x}\left(1+x\right)}dx$ och $4{{\left|arc\tan \sqrt{x}\right|}^R}_r$

men var får vi fyran ifrån