integral

De har tydligen satt 

p(x) = x^3

och då är ju p(2) = 2^3 = 8.

En annan lösningsvariant är att sätta t = x - 2. Täljaren kan utvecklas och sedan får man 4 termer att integrera.

jag ser att dom fått $p\left(x\right)=p\left(2\right)+\frac{p^{\text{'}}\left(2\right)}{1!}\left(x-2\right)+\frac{p^{\text{'}\text{'}}\left(2\right)}{2!}{\left(x-2\right)}^2+\frac{p^{!!!}\left(2\right)}{3!}{\left(x-2\right)}^3$ och detta ger att vi får $x^3=8+12\left(x-2\right)+6{\left(x-2\right)}^2+{\left(x-2\right)}^3$

Sedan ska man integrera och får då $\int \frac{8}{{\left(x-2\right)}^8}dx+\int \frac{12}{{\displaystyle {\left(x-2\right)}^7}}dx+\int \frac{6}{\left(x-2\right){\displaystyle 6}}dx+\int \frac{1}{{\displaystyle {\left(x-2\right)}^5}}dx$ så långt är jag med men som sista steg ska man enligt facit sätta:

$-\frac{8}{7{\left(x-2\right)}^7}-\frac{2}{{\left(x-2\right)}^6}-\frac{6}{5{\left(x-2\right)}^5}-\frac{1}{4{\left(x-2\right)}^4}+C$

Jag förstår inte hur dom kommer fram till det sista steget.

Du kan t.ex integrera

(x - a)^n

med substitutionen

t = x - a, dt = dx

Som sagt så hade jag gjort den substitutionen direkt och inte taylorutvecklat täljaren runt x = 2.

så man ska då skriva om det till $\int \frac{x^3}{t^8}dt$

Det är en variant.

Byt dock även ut

x^3 = (t + 2)^3 = t^3 + 6t^2 + 12t + 8.

men jag förstår inte hur ska man då komma från $\int \frac{t^3+6t^2+12t+8}{t^8}dt$ till svaret som ska vara $-\frac{8}{7{\left(x-2\right)}^7}-\frac{2}{{\left(x-2\right)}^6}-\frac{6}{5{\left(x-2\right)}^5}-\frac{1}{4{\left(x-2\right)}^4}+C$

Dela upp bråket i summan av 4 bråk. Integrera term för term.

okej så vi ska då få $\int \frac{t^3}{t^8}+\int \frac{6t^2}{t^8}+\int \frac{12t}{t^8}+\int \frac{8}{t^8}dt$