Integral

Hej.

Det känns som om du har krånglat till det lite väl mycket.

Hur har du kommit fram till den integralen?

Som du skriver är detta ett relativt snällt problem för att vara relaterat till rotationsvolymer.

---------------------------------------- 

Jag tänker att det enklaste sättet att få fram volymen är med hjälp av skivmetoden:

Börja med att rita upp kurvan till $y=2\sqrt{x}$ från $x=0$ till $x=3$ i ett koordinatsystem.

Om denna kurva sedan roterar kring x-axeln så bildas en rotationskropp.

Dela in rotationskroppen i cirkulära skivor med x-axeln som medelpunkt.

Varje skiva har en radie r som beror på x-värdet enligt $r\left(x\right)=2\sqrt{x}$.

Varje skiva har därför en area A som beror av x enligt $A\left(x\right)=\mathrm{\pi }{\left(\mathrm{r}\left(\mathrm{x}\right)\right)}^2=\mathrm{\pi }(2\sqrt{\mathrm{x}}{)}^2=4\mathrm{\pi x}$.

Om vi gör skivindelningen så tunn att varje skivas tjocklek är dx så kan varje skiva ses som en väldigt låg cylinder med en volym som är $4\mathrm{\pi x} \mathrm{dx}$.

Dessa cylindrar kan nu integreras för att ge totalvolymen:

$V={\int }_0^{3}4\mathrm{\pi x} dx=4\mathrm{\pi }{\int }_0^3\mathrm{x} d\mathrm{x}=4\mathrm{\pi }\left[\frac{3^2}{2}-\frac{0^2}{2}\right]=18\mathrm{\pi }$