Integral

Vad är derivatan av (1−r^2)^(3/2)?

sådär

Trinity2 skrev:

Vad är derivatan av (1−r^2)^(3/2)?

Är detta någon sorts generell metod för att få ut primitiva funktionen av en integral? Att man liksom arbetar "baklänges" med utgångspunkt att derivatan av en primitiv funktion ger just integranden som är given upp till någon konstant? För jag hade själv försökt att bara dela upp integranden i 2 delar pga egenskap av integraler och därefter använda u-subtitution på den ena integranden, men jag förstår att det är ett längre sätt att lösa det på, därav min nyfikenhet över din föreslagna metod. Finns det någon generell formel som visar hur man använder din approach?

Någon generell metod är det inte fråga om. Den utnyttjar att du just i detta fallet har r som faktor framför rotmärket och som råkar vara lika med den inre derivatan av uttrycket under rotmärket, så när som en problemfri konstant. Metoden är bara framgångsrik om integranden innehåller en faktor som väsentligen är inre derivata till någon fkn. Ett annat ex: Låt integranden f(x) = cos(x) e^{sin (x)}   Här är cos x derivatan av sin x och du kan substituera med t=sin x.

Men hur gör jag sen?

Sätt t =1-r²  Då är dt=-2rdr varför r (1-r² )^0,5  dr = -0,5 t^0,5 dt . Den primitiva fknen till denna är            -0,5 t^1,5 /1,5 = -(1-r² )/3. Glöm inte att integrera den sista termen -r² i den ursprungliga integranden. Sätt sedan in gränserna.