Integral

Faktorisera nämnaren och partialbråksuppdela. Vad får du då? 

Hur kan jag se hur den ska faktiriseras? Jag ser bara att Den ska kvadratkompletteras...

edit kanske kommit på ngt

Men det längst ned med ett vågigt streck under - hur kan man skriva det på formen "ln(något/något)"?

sen undrar jag om jag verkligen gjort rätt - för svaret ska bli ln(32/27) - ÄR jag på väg åt rätt håll??

Hej!

Uppgift 13.14. Beräkna integralen

    $\int_{0}^{1}\frac{x+1}{x^2+5x+6}\,dx\ .$

Steg 1. Integranden är definierad över integrationsområdet, så det finns inga konstigheter som behöver redas ut.

Steg 2. Inför variabelbytet $y = x+1.$ Nämnaren blir då lika med $y^2+3y+2$ och integralen blir

    $\int_{1}^{2}\frac{y}{y^2+3y+2}\,dy.$

Steg 3. Nämnarens derivata är lika med $2y+3 = 2(y+1.5)\ .$ Använd detta för att omforma integralen.

    $\int_{1}^{2}\frac{y}{y^2+3y+2}\,dy = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{2(y+1.5) - 3}{y^2+3y+2}\,dy\ .$

Steg 4. Skriv integralen som en differens av två termer.

    $\frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{2(y+1.5) - 3}{y^2+3y+2}\,dy = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{2y+3}{y^2+3y+2}\,dy - \frac{3}{2}\int_{1}^{2}\frac{1}{y^2+3y+2}\,dy\ .$

Steg 4.1. Den första termen är lika med

    $\frac{1}{2}[\ln(y^2+3y+2)]_{1}^{2}\ .$

Steg 4.2. Den andra termen är lika med

    $\frac{3}{2}\int_{1}^{2}\frac{1}{y^2+3y+2}\,dy\ .$

Nämnarens rötter är $y = -1$ och $y = -2$ vilket betyder att integranden kan partialbråkuppdelas $\frac{1}{y^2+3y+2} = \frac{1}{y+1} - \frac{1}{y+2}$ så att integralen blir

    $\frac{3}{2}\int_{1}^{2}(\frac{1}{y+1} - \frac{1}{y+2})\,dy = \frac{3}{2}[\ln \frac{y+1}{y+2}]_{1}^{2}\ .$

Albiki