Integral

Uppgiften lyder:

Beräkna ${\int }_1^{\frac{3}{2}}(x^3+\frac{1}{x}+\sin 4x)dx$.

Här följer mitt försök till en lösning. Var gick det fel?

$$\begin{gathered} x^3\Rightarrow \frac{x^4}{4} \\ \frac{1}{x}\Rightarrow \ln x (för x>0, vilket är sant) \end{gathered}$$

Men jag har försökt med sin 4x och kommit fram till ett svar jag tvivlar på.

Jag använde mig av regeln,

$y=\int dy=\int \frac{dy}{dt}\times \frac{dt}{dx}\times dx$

och sedan när jag inte lyckades med det använde jag

$$\begin{gathered} {\int }_{}^{}\sin 4x dx \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}t=4x\\ \frac{dt}{dx} =4\end{array}\Rightarrow dt =\hspace{0.17em}4x\Rightarrow \right.\frac{1}{4}\times dt=dx\left.\begin{array}{r} \\ \end{array}\right\}\Rightarrow \int \sin t \times \frac{1}{4}\times dt\Rightarrow \frac{1}{4}\times \int \sin t \times dt\Rightarrow \\ -\frac{1}{4}\cos 4x \end{gathered}$$

${\left[\frac{x^4}{4}+\ln x-\frac{\cos 4x}{4}\right]}_1^{\frac{3}{2}}=20+\ln \frac{3}{2}-\ln 1-\frac{\cos 6 + \cos 4}{4}$

Svaret ska bli: