Integal med tan och sin

Standardknepet på en sådan här integral är väl att använda sig av halva-vinkeln-tangens-substitutionen $t=\tan(\frac{x}{2})$ vilket efter lite algebra ger en rationell polynomfunktion som kan integreras med partialbråksuppdelning.

Ett annat alternativ är att skriva funktionen enbart uttryckt i $\cos(x)$ där vi kan bryta ut en faktor $\sin(x)$ vilket är ganska svårt att komma på, men det går:

$\dfrac{1}{4\tan(x)+5\sin(x)}=\dfrac{1}{\frac{4\sin(x)}{\cos(x)}+5\sin\left(x\right)}=\dfrac{1}{\frac{1}{\sin(x)}(\frac{4\sin^2(x)}{\cos(x)}+5\sin^2\left(x\right))}=\dfrac{\sin(x)}{\frac{4(1-\cos^2(x))}{\cos(x)}+5\left(1-\cos^2\left(x\right)\right)}$

vilket kan omvandlas till en rationell polynomfunktion med substitutionen $t=\cos(x)$. Dock blir den resulterande integralen ungefär lika krånglig som med tan-halva-tricket, så det kanske är lika bra att köra på det.