Inskriven triangel i ellips

Säg för enkelhetens skull att A=(-a,0), B=(0,-b) och C=(x,y)

Vi skull kunna använda gamla goa b*h/2=A formeln och med det beräkna maximala h

men är nog lättare att bara parametrisera, $x=a·\cos \left(v\right), y=b·\sin \left(v\right)$ifall vi stoppar in detta får vi $A(x,y)=\frac{1}{2}\left|bx+ay+ab\right|=\frac{1}{2}\left|b·a·\cos \left(v\right)+a·b·\sin \left(v\right)+ab\right|$ vilket vi kan förenkla till $\frac{1}{2}\left|b·a\left(\cos \right(v)+\sin (v)+1)\right|=\frac{1}{2}·\left|a\right|·\left|b\right|·\left|\cos \left(v\right)+\sin \left(v\right)+1\right|$  så vi måste bara optimera $\cos \left(v\right)+\sin \left(v\right)+1$

EDIT: Inser nu att jag definera A,B,C och de i onödan sorry tänkte lösa den på annat sätt men detta är lättare

När vi ska optimera $\cos v+\sin v+1$, sätter vi $f\left(v\right)=\cos v+\sin v+1 och löser sedan \frac{\partial f}{\partial v}=0?$

Yeah derivera och kolla efter max punkter(eller vad de nu heter), eller bara grafräknare eller nåt.

Får då cosv-sinv=0, $v=\frac{\pi }{4}$

Jag använde ett program och fick samma så yesbox, stoppa bara in det i funktionen så äre klart

Får inte till det, får att $$\begin{gathered} f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)+\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)+1=\sqrt{2}+1 \\ \frac{1}{2}\left(ab\right(\sqrt{2}+1\left)\right)=\frac{\sqrt{2}+1}{2}ab \\ Har kollat runt lite och många har svarat, \frac{3\sqrt{3}}{4}ab \end{gathered}$$

Men då antar jag att dem har olika hörn (punkter) på triangeln? Är det så att de två givna punkterna (två hörnen på triangeln) som vi har fått är fixt? Så fall skulle vårat svar skilja.

econo skrev:

Får inte till det, får att $$\begin{gathered} f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)+\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)+1=\sqrt{2}+1 \\ \frac{1}{2}\left(ab\right(\sqrt{2}+1\left)\right)=\frac{\sqrt{2}+1}{2}ab \\ Har kollat runt lite och många har svarat, \frac{3\sqrt{3}}{4}ab \end{gathered}$$

Men då antar jag att dem har olika hörn (punkter) på triangeln? Är det så att de två givna punkterna (två hörnen på triangeln) som vi har fått är fixt? Så fall skulle vårat svar skilja.

Var är hörnen annars? 

econo skrev:

Får inte till det, får att $$\begin{gathered} f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)+\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)+1=\sqrt{2}+1 \\ \frac{1}{2}\left(ab\right(\sqrt{2}+1\left)\right)=\frac{\sqrt{2}+1}{2}ab \\ Har kollat runt lite och många har svarat, \frac{3\sqrt{3}}{4}ab \end{gathered}$$

Men då antar jag att dem har olika hörn (punkter) på triangeln? Är det så att de två givna punkterna (två hörnen på triangeln) som vi har fått är fixt? Så fall skulle vårat svar skilja.

Jag är ganska säker på att de vi kom fram till är korrekt, jag kollade runt en liten stund och såg att de flesta svarade på frågan om en optimal triangel där man får bestämma alla hörnen själva, vi fick inte de och de är därför möjligt att den optimala arean under våra restriktioner är mindre än den maximala arean utan. 

Han räknar lite fel men här har vi ett exempel där hörnen är (a,0), (x,y), (x,-y)

Det hela blir lättare att se om man sätter a = b. 

Laguna skrev:

Det hela blir lättare att se om man sätter a = b. 

Kan du utveckla lite mer? Försöker tolka det geometrisk, men om a=b får vi då $\frac{1}{2}det\left[\begin{array}{cc}x+b& y\\ x& y+b\end{array}\right]=\frac{1}{2}|bx+by+b^2|...?$

Yeah men tänk (1) de beräknar specifikt en likbent triangel och (2) han har mera frihet än oss, vi har två punkter att förhålla oss till och han kan välja vilka som helst så länge de skapar en likbent triangel.

Ifall vi jämför. Säg vi har en enhets cirkel och en triangel i den med två hörn i (1,0) samt (-1,0) och uppgiften är att maximera dess area, ifall vi jämför detta med att vi kan välja vilka 3 punkter som helst i cirkeln för att maximera triangels area. Vi kommer antagligen kunna hitta en större triangel i de andra scenariot, de är samma grej med vår fråga och den han ställdes.

Tack ska du ha!