Insättning på bankkonto

Hej!

Jag har fastnat på följande uppgift: Hur mycket ska man sätta in på ett bankkonto vid slutet av varje år om man efter den 10:e insättningen vill ha 100 000 kr. Räntesatsen är 3,5%.

Jag tänkte att man kan använda sig av summaformeln för en geometrisk talföljd och ställa upp följande samband där x står för den årliga insättningen:

$100 000 = 1, 035 x \times (\frac{1, 035^{10} - 1}{1, 035 - 1})$

Löser jag ut x får jag att x = 8235.... Facit säger att svaret ska bli 8524. Jag har även prövat att räkna med att n=9 vilket också ger fel svar (ungefär 9318 kr per år)

Frågan är vad det är som inte stämmer i min uträkning?

Det är $1,035$ framför $x$ som ställer till det. Sätter man in $x$ kr varje år tio gånger blir den totala summan:

$x\cdot1,035^9+x\cdot1,035^8+...+x\cdot1,035+x$

Formeln för en geometrisk summa är:

$ar^{n-1}+ar^{n-2}+...+ar+a=a(\dfrac{r^n-1}{r-1})$

I vårt fall är $a=x$ , $r=1,035$ och $n=10$ . Vi får då:

$x\cdot1,035^9+x\cdot1,035^8+...+x\cdot1,035+x=x(\dfrac{1,035^{10}-1}{1,035-1})$

Ekvationen som skall lösas är alltså:

$x(\dfrac{1,035^{10}-1}{1,035-1})=100\ 000$

Hänger du med på det?

Hej!

Såhär ser saldot ( $S$ ) ut vid årssluten om du varje år sätter in $x$ kronor på bankkontot.

År 1. $S_1 = x$ kronor.

År 2. $S_2 = x+tx$ kronor, där tilväxtfaktorn $t = 1.035$ .

År 3. $S_3 = x+tx+t^2x$ kronor.

År 4. $S_4 = x+tx+t^2x+t^3x$ kronor.

Och så vidare.

Vid slutet av år $n$ är saldot $S_{n} = x \cdot (1+t+t^2+t^3+\cdots+t^{n-1})$ kronor, vilket kan uttryckas med formeln för en geometrisk summa.

$S_{n} = x \cdot \frac{t^{n}-1}{t-1}.$

När $n = 10$ vill du att $S_{10} = 10^{5}$ vilket betyder att du varje år måste sätta in $x=8524$ kronor på kontot.

$10^{5} \cdot \frac{0.035}{1.035^{10}-1} = 8524$ .

Svara