Inre och yttre funktioner

Inre: $f(x)=\ln x$

Yttre: $z(u)=u^x$

la regla de la cadena:

$\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{dz}{df}\cdot\frac{df}{dx}$

om $y = (z \circ f) (x) = z(f(x))$

Jag skulle säga att man behöver flervariabelversionen av kedjeregeln här.

u(x) = lnx

z(u, x) = u^x

y(x) = z(u(x), x)

y’ = $\frac{\partial z}{\partial u}·\frac{du}{dx}+\frac{\partial z}{\partial x}=x{u}^{x-1}·\frac{1}{x}+\ln u·u^x=u^x\left(\ln u+\frac{1}{u}\right)={\left(\ln x\right)}^x\left(\ln \left(\ln x\right)+\frac{1}{\ln x}\right)$.

Men eftersom flervariabel inte igår i gymnasiet så föreslår jag logaritmisk derivering. Dvs utnyttja att (lny)’ = y’/y.

naytte skrev:

Inre: $f(x)=\ln x$

Yttre: $z(u)=u^x$

la regla de la cadena:

$\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{dz}{df}\cdot\frac{df}{dx}$

om $y = (z \circ f) (x) = z(f(x))$

Så om exponenten är en funktion och basen en konstant, ex e^5x så blir basen den yttre och exponenten den inre funktionen, vice versa om exponenten är en konstant och basen en funktion ex (3x)^2. Men om båda är variabler så följer man regeln av där exponenten är en funktion och basen en konstant?

PATENTERAMERA skrev:

Jag skulle säga att man behöver flervariabelversionen av kedjeregeln här.

u(x) = lnx

z(u, x) = u^x

y(x) = z(u(x), x)

y’ = $\frac{\partial z}{\partial u}·\frac{du}{dx}+\frac{\partial z}{\partial x}=x{u}^{x-1}·\frac{1}{x}+\ln u·u^x=u^x\left(\ln u+\frac{1}{u}\right)={\left(\ln x\right)}^x\left(\ln \left(\ln x\right)+\frac{1}{\ln x}\right)$.

Men eftersom flervariabel inte igår i gymnasiet så föreslår jag logaritmisk derivering. Dvs utnyttja att (lny)’ = y’/y.

Håller med. Tänkte inte på det när jag skrev inlägget men du har givetvis rätt i att det krävs flervarre om man vill använda den sammansättningen.

Men för just denna kan vi också derivera med "standardknepet" att skriva om med basen $e$:

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln x\right)^x=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{x\ln\left(\left(\ln x\right)\right)}=e^{x\ln\left(\left(\ln x\right)\right)}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x\ln\left(\left(\ln x\right)\right)$

$\displaystyle =e^{x\ln\left(\left(\ln x\right)\right)}\left(\ln\left(\ln x\right)+x\cdot\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x}\right)=\left(\ln x\right)^x\left(\ln\left(\ln x\right)+\frac{1}{\ln x}\right)$

Ja, precis, med den omskrivningen så fungerar den vanliga kedjeregeln. Det var säkert tänkt att man skulle göra så.

PATENTERAMERA skrev:

Ja, precis, med den omskrivningen så fungerar den vanliga kedjeregeln. Det var säkert tänkt att man skulle göra så.

Förlåt glömde att nämna, det här var ingen uppgift bara något jag funderade över x D

Pankakan skrev:

naytte skrev:

Inre: $f(x)=\ln x$

Yttre: $z(u)=u^x$

la regla de la cadena:

$\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{dz}{df}\cdot\frac{df}{dx}$

om $y = (z \circ f) (x) = z(f(x))$

Så om exponenten är en funktion och basen en konstant, ex e^5x så blir basen den yttre och exponenten den inre funktionen, vice versa om exponenten är en konstant och basen en funktion ex (3x)^2. Men om båda är variabler så följer man regeln av där exponenten är en funktion och basen en konstant?

Jag förstår inte riktigt din fråga. Istället för att försöka hitta genvägar tror jag det är bättre att försöka förstå vad kedjeregeln innebär. Om vi utgår ifrån en funktion:

$\displaystyle y:=f\left(g\left(x\right)\right)$

så säger kedjeregeln att:

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}g}\cdot\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}$

Är du med på vad detta betyder?

naytte skrev:

Pankakan skrev:

Visa föregående citat

naytte skrev:

Inre: $f(x)=\ln x$

Yttre: $z(u)=u^x$

la regla de la cadena:

$\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{dz}{df}\cdot\frac{df}{dx}$

om $y = (z \circ f) (x) = z(f(x))$

Så om exponenten är en funktion och basen en konstant, ex e^5x så blir basen den yttre och exponenten den inre funktionen, vice versa om exponenten är en konstant och basen en funktion ex (3x)^2. Men om båda är variabler så följer man regeln av där exponenten är en funktion och basen en konstant?

Jag förstår inte riktigt din fråga. Istället för att försöka hitta genvägar tror jag det är bättre att försöka förstå vad kedjeregeln innebär. Om vi utgår ifrån en funktion:

$\displaystyle y:=f\left(g\left(x\right)\right)$

så säger kedjeregeln att:

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}g}\cdot\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}$

Är du med på vad detta betyder?

Aaa det är jag med på. det blir två derivator multiplicerade med varandra, en som är derivatan av funktionen med x, och en som är beroende av det den är funktionen är

Ja precis. Den kritiska insikten här är man tar derivatan av en funktion $f$ med avseende på en funktion $g$. Man behandlar $g$ som en "variabel".

Studera omskrivningen som gjordes i #5, där uttrycket skrevs om i basen $e$. Vilken funktion skulle du säga är $f$ och vilken är $g$?

naytte skrev:

Ja precis. Den kritiska insikten här är man tar derivatan av en funktion $f$ med avseende på en funktion $g$. Man behandlar $g$ som en "variabel".

Studera omskrivningen som gjordes i #5, där uttrycket skrevs om i basen $e$. Vilken funktion skulle du säga är $f$ och vilken är $g$?

Basen e blir väl då yttre funktionen, och exponenten den inre?

Den yttre funktionen f(x) = e^x.