Inre derivator i maclaurin utvecklingar

Var vill du använda kedjeregeln? t är lika med $2x^3$ överallt där det förekommer. 

Laguna skrev:

Var vill du använda kedjeregeln? t är lika med $2x^3$ överallt där det förekommer. 

Jag tänker att om man deriverar en funktion g(2x^3) bör man tillämpa kedje regeln:

D( g(2x^3) ) = g'(2x^3) * (6x^2). Du får ju koeffecienterna framför polynomen enligt maclaurins sats f(0), f'(0)/1!, f''(0)/2! osv.

Om du gör så utan att införa t så får du nog samma resultat, men det här är enklare. 

Om vi har en funktion $f(t)$ som tillåter en serieutveckling $f(t) = \sum_{n=0}^{\infty}c_n t^n$ som konvergerar för alla $t$ i något intervall $t \in (-a,a)$ så får du göra substitionen $t=u(x)$ och skriva $f(u(x)) = \sum_{n=0}^{\infty}c_n u(x)^n$, så länge som vi också har $u(x) \in (-a,a)$. Du får mata in vad som helst i en serieutvekling så länge som det du matar in ligger i intervallet där serien konvergerar.

Detta knep gör det enklare att bestämma Taylor/Maclaurin-utvecklingar, då vi i situationer som din kan utgå från redan kända utvecklingar och sen göra en substitution för att få den sökta serien. Det hade gått precis lika bra att göra allt "från scratch" och använda kedjeregeln men det hade varit jobbigare.

Freewheeling skrev:

Om vi har en funktion $f(t)$ som tillåter en serieutveckling $f(t) = \sum_{n=0}^{\infty}c_n t^n$ som konvergerar för alla $t$ i något intervall $t \in (-a,a)$ så får du göra substitionen $t=u(x)$ och skriva $f(u(x)) = \sum_{n=0}^{\infty}c_n u(x)^n$, så länge som vi också har $u(x) \in (-a,a)$. Du får mata in vad som helst i en serieutvekling så länge som det du matar in ligger i intervallet där serien konvergerar.

Detta knep gör det enklare att bestämma Taylor/Maclaurin-utvecklingar, då vi i situationer som din kan utgå från redan kända utvecklingar och sen göra en substitution för att få den sökta serien. Det hade gått precis lika bra att göra allt "från scratch" och använda kedjeregeln men det hade varit jobbigare.

Tack så mycket! Vet du vart jag kan läsa på mer om det här? Jag antar att ditt resonemang hämtas från en sats i analysen?

Det borde inte behövas någon sats i analysen för detta, bara definitionen av likhet. Kolla på substitution property under basic properties här.

parveln skrev:

Det borde inte behövas någon sats i analysen för detta, bara definitionen av likhet. Kolla på substitution property under basic properties här.

Knixet är ju att likheten är härledd via derivator. Det skulle väl lika gärna kunna vara så att likheten gäller under förutsättning att inre derivatan är 1?

Som parveln antyder så tror jag inte det behövs någon särskild sats för att inse att det är tillåtet att göra själva substitutionen $t=u(x)$ så länge som $u(x)$ ligger innanför konvergensområdet. Funktionen representeras ju av potensserien för allting som ligger innanför konvergensområdet. Om $f(t) = \sum_{n=0}^{\infty}c_nt^n$ för alla $t \in (-a,a)$ och funktionen $u$ uppfyller att $u(x) \in (-a,a)$ för något specifikt $x$, då måste vi kunna representera $f$ i punkten $u(x)$ genom att skriva $f(u(x)) = \sum_{n=0}^{\infty}c_nu(x)^n$. Och om vi nu vet att funktionen $u$ uppfyller att $u(x) \in (-a,a)$ för alla $x$ inom något intervall, säg $x \in (-b,b)$, då har vi en serieutveckling för $f(u(x))$ i konvergensområdet $(-b,b)$. Notera att intervallet där serierna konvergerar kan förändras när vi gör en substitution.

Det kan vara värt att fråga sig hur du vet att det är just Maclaurin-utvecklingen för själva sammansatta funktionen $f(u(x))$ du får ut efter att själva substitutionen är gjord. Det följer av en sats i analysen som säger att om en funktion har en potensserieutveckling med konvergensområdet $(-b,b)$ så är denna potensserierepresentation unik. Så om du har hittat en utveckling för $f(u(x))$ i ett visst konvergensintervall $(-b,b)$ med termer på formen $d_nx^n$ så vet vi att detta måste vara Maclaurin-serien för $f(u(x))$, för det finns bara en unik sådan serieutveckling. Här är en formulering av en sats med bevis: https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/6-2-properties-of-power-series#fs-id1167023777376

Skaft skrev:

parveln skrev:

Det borde inte behövas någon sats i analysen för detta, bara definitionen av likhet. Kolla på substitution property under basic properties här.

Knixet är ju att likheten är härledd via derivator. Det skulle väl lika gärna kunna vara så att likheten gäller under förutsättning att inre derivatan är 1?

Att likheten är härledd via derivator spelar väl ingen roll. När vi väl har den så kan vi byta ut t mot vad som helst som är lika med t. Däremot kan vi inte utan vidare påstå att serien vi har framför oss verkligen är MacLaurinutvecklingen som Freewheling skriver.

parveln skrev:

Att likheten är härledd via derivator spelar väl ingen roll.

Nej, det gör väl inte det eftersom bytet är tillåtet. Men det betyder inte att TS fråga är obefogad. Och Freewheelings inlägg visar väl att saken inte är så enkel som ditt första inlägg ger sken av.

Skaft skrev:

parveln skrev:

Att likheten är härledd via derivator spelar väl ingen roll.

Nej, det gör väl inte det eftersom bytet är tillåtet. Men det betyder inte att TS fråga är obefogad. Och Freewheelings inlägg visar väl att saken inte är så enkel som ditt första inlägg ger sken av.

Det är sant, jag missade att TS skrev att de "McLaurinutvecklade" uttrycket. Då behövs givetvis entydighetssatsen. Att frågan är befogad är det ingen tvekan om.