Inledande talteori - Bevisa

Du har visat att kvoterna är lika (fast med omvänt tecken). Kan du visa att den ena kvoten är ett heltal måste också den andra vara det. Men hur vet du att kvoten $(x-1)/b$ är ett heltal?

Bra fråga, ingen aning. Hur kan jag bevisa det? 
Eller har jag tänkt fel, borde jag lösa på ett annat sätt?

Jag tycker att du har visat en intressant egenskap, nämligen att kvoterna är lika (med omvänt tecken).

Men jag förstår inte hur du kan vara säker på att det skulle bli ett heltal.

Själv skulle jag utnyttja Bezouts identitet och partikulärlösningen till den diofantiska ekvationen. Vi får veta att $\mathrm{SGD}(a,b)=1$.

Alltså har ekvationen $ax+by=1$ lösningarna

$x=x_0+kb$

$y=y_0-ka$

Där $k$ är ett godtyckligt heltal. Dessutom vet vi att $a+b=1$, alltså är en partikulärlösning $x_0=y_0=1$

$x=1+kb$

$y=1-ka$

Där $k$ är ett godtyckligt heltal. Därmed gäller att $x-1=kb$ och $y-1=-ka$ varur påståendet följer. Vi ser också att kvoten du fick fram är just heltalet $k$.

Vi har inte gått igenom partikulärlösningen till den diofantiska ekvationen. Kan man bevisa att kvoten är ett heltal på ett annat sätt?

Om du multiplicerar din första ekvation med $x$ får du

$x(a+b)=x$

Vi löser ut $ax$, dvs $ax=x-bx$

Vi löser ut $ax$ ur din andra ekvation också $ax=1-by$

Alltså $x-bx=1-by$, (från $ax=ax$)

Slutligen $x-1=b\cdot (x-y)$

Ahaa, ok. Men hur vet jag nu att (x-y) är ett heltal?

Om $x,y$ är heltal är naturligtvis $x-y$ ett heltal.

Det bör framgå av din uppgiftsformulering att man avser heltalslösningar $x$ och $y$, dvs  ekvationen är diofantisk.

En diofantisk ekvation är en ekvation till vilken endast heltalslösningar efterfrågas. Alla ekvationer kan göras till diofantiska ekvationer.

Existensen av heltalslösningar till ekvationen $ax+by=1$ garanteras av Bezouts identitet eftersom $a,b$ är relativt prima ($\mathrm{SGD}(a,b)=1$)

Exempel:

Låt $a=7$ och $b=-6$

$a+b=1$ motsvaras av $7-6=1$

$ax+by=1$ motsvaras av $7x-6y=1$

Alla heltalslösningar till den diofantiska ekvationen ges av

$x=1-6k$

$y=1-7k$

För $k\in\mathbb{Z}$.

Men till ekvationen $7x-6y=1$ finns det också lösningar som inte är heltalslösningar. t.ex. lösningen

$x=0$

$\displaystyle y=-\frac{1}{6}$

Sant, tack för förklaring