Inlämningsuppgift funktionslära (värdemängd för sammansatt funktion)

Uppgiften lyder:

Låt oss börja med att definiera f:ℝ→]−∞,−1] enligt f(x)=−1/2cos(πx)−2, och g:ℝ→ℝ enligt g(x)=7x/4. I den här inlämningsuppgiften ska vi studera den sammansatta funktionen h av f och g, vilken uppfyller h(x)=f(g(x)) för alla x i dess definitionsmängd.

a) Ge uttrycket för h(x).

- (eget svar)

h(x)=f(g((x))=f(7x4)=−1/2⋅cos(π⋅7x4)−2

h(x)=−cos(π⋅7x4)/2−2

b) Beräkna h(3), h(4) och h(5). Ditt svar ska inte innehålla någon sinus- eller cosinusfunktion och ska inte vara på decimalform.

c) Skriv ut definitionsmängden och målmängden för h.

d) Bestäm värdemängden för h.

e) Är h en injektiv funktion? Om ja, ge ett bevis; om nej, ge ett motexempel.

f) Är h en surjektiv funktion? Om ja, ge ett bevis; om nej, ge ett motexempel.

Jag har löst samtliga uppgifter förutom d). Det jag kommit fram till i d) är att cos(π7x4) kan bara anta värden på intervallet [1,−1] för att vara definierad. Alltså är cos(π7x/4) som mest 1 och som minst −1.

cos(x)=1 då x=2πn för n∈ℤ

Genom att sätta 2πn=π7x/4 får man ett gränsvärde på x då

cos(π7x/4)=1

2πn=π7x/4

2n=7x/4

x=8n/7

Fortsättningsvis är cos(x)=−1 då x=π(2n+1) för n∈ℤ

Genom att sätta π(2n+1)=π7x/4 får man ett undre gränsvärde på x.

π(2n+1)=π7x/4

(2n+1)=7x4

(4/7)(2n+1)=x

x=8n/7+4/7

Sedan har jag provat lite olika värden på n men har inte riktigt lyckats se ett mönster. Det jag kommit fram till är att då cos(x)=-1 måste n vara större än -(4/8).

Då cos(x)=1 måste n vara skilt från 0 samt skilt från -7/8 samt skilt från -4/8