Inlämningsuppgift 3 funktionstyper

Låt oss börja med att definiera $f:\mathrm{ℝ}\to ]-\infty , 7]$ enligt $f\left(x\right) = 4 -\frac{-4\cos \left(\mathrm{\pi x}\right)}{3}$, och $g:\hspace{0.17em}\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}$ enligt $g\left(x\right) =\hspace{0.17em}-\frac{2x}{3}$.

Studera sammansättningen av funktionen h av f och g. Vilken uppfyller $h\left(x\right) =\hspace{0.17em}f\left(g\right(x\left)\right)$ för alla x i dess definitionsmängd.

 

A. Ge uttrycket för $h\left(x\right)$ Rätt behöver inte hjälp med denna

$f\left(x\right) = 4-\frac{4\cos \left(x\right)}{3}$ och $g\left(x\right) =\hspace{0.17em}\frac{2x}{3}$

$h\left(x\right) =\hspace{0.17em}f\left(g\right(x\left)\right)$

 

Substutionen $g\left(x\right) i f\left(x\right)$

$h\left(x\right) =\hspace{0.17em}f\left(\frac{2x}{3}\right)$

 

Därmed blir 

$h\left(x\right) =\hspace{0.17em}4-\frac{4\cos \left(\mathrm{\pi }\right({\displaystyle \frac{2}{3}}\left)\right)}{3}$

 

Förenkling till $\cos (-\theta )-\cos \left(\theta \right)$

$h\left(x\right) = 4-\frac{4\cos \left({\displaystyle \frac{2\times \mathrm{\pi }\times \mathrm{x}}{3}}\right)}{3}$

 

 

B. Beräkna $h\left(3\right), h\left(4\right) och h\left(5\right)$. Ditt svar ska innehålla någon sinus- eller cosinusfunktionen och ska vara på decimalform.

$$\begin{gathered} h\left(3\right) = 4 - \frac{4\cos \left({\displaystyle \frac{2\times 3\times \mathrm{\pi }}{3}}\right)}{3} \\ \cos \left(2\mathrm{\pi }\right) =\hspace{0.17em}1 \\ \mathrm{h}\left(3\right)=4 -\frac{4\times 1}{3} =\hspace{0.17em}4-\frac{4}{3} =\hspace{0.17em}4-(1+\frac{1}{3})\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}(2 + \frac{2}{3}) \\ \mathrm{h}\left(4\right) =\hspace{0.17em}4-\frac{4\cos \left({\displaystyle \frac{2\times \mathrm{\pi }\times 4}{3}}\right)}{3} \\ \mathrm{h}\left(4\right) = 4-\frac{4(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}{3} \\ \mathrm{h}\left(4\right) =4+\frac{4}{6}-4+\frac{2}{3} =\hspace{0.17em}\frac{4}{6}+\frac{2}{3} =\hspace{0.17em}\frac{8}{6} \\ \mathrm{h}\left(5\right) = 4 - \frac{4\cos \left({\displaystyle \frac{2\times \mathrm{\pi }\times 5}{3}}\right)}{3} =\hspace{0.17em}4-\frac{4\cos \left({\displaystyle \frac{10\mathrm{x}}{3}}\right)}{3} \end{gathered}$$

Eftersom $\cos \left(\frac{10x}{3}\right) =\hspace{0.17em}\cos (3\mathrm{\pi }+\frac{\mathrm{\pi }}{3})\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)= \frac{1}{2}$

 

Så borde jag bara svara enligt följande?

"

$$\begin{gathered} h\left(3\right) =\hspace{0.17em}(2 + \frac{2}{3}) eller \frac{8}{3} eller 2.66........ \\ h\left(4\right) =\hspace{0.17em}\frac{8}{6} eller 1.33..... \\ h\left(5\right) =\hspace{0.17em}\frac{1}{2} eller 0.5 \end{gathered}$$

"

 

C. Skriv ut definitionsmängden och målmängden för h

 

Definitionsmängden för h:

$D\left(h\right) =\hspace{0.17em}\mathrm{ℝ}$

 

Målmängd för $f$

$M\left(f\right) = ]-\infty , 7$

 

Målmängd för $h$

$M\left(h\right) = ]-\infty , 7$

 

Vad är vad och varför? motivation saknas. Lösning ska bestå av fullständiga meningar.

 

 

D. Bestäm värdemängden för $h$

$h\left(x\right) =\hspace{0.17em}4-\frac{4\cos \left(\mathrm{\pi }\right({\displaystyle \frac{2\mathrm{x}}{3}}\left)\right)}{3}$

$\cos \left(\theta \right)$ varierar mellan -1 och 1

$$\begin{gathered} -1\le \cos \left(\frac{2\mathrm{\pi }\times \mathrm{x}}{3}\right)\le 1 \\ 4-\frac{4}{3}\le h\left(x\right)\le 4 + \frac{4}{3}\Rightarrow \\ 4-(1+\frac{1}{3}) \le h\left(x\right)\le 4-(1+\frac{1}{3}) \Rightarrow \\ 2+\frac{2}{3}\le h\left(x\right)\le 5+\frac{1}{3} \\ h\left(\mathrm{ℝ}\right) =\hspace{0.17em}[2.6, 5.3] \end{gathered}$$

 

 

E. Är h en injektiv funktion? Om ja ge ett bevis: om nej ge ett motexempel

$$\begin{gathered} h\left(0\right) = 4 - \frac{4\cos \left(0\right)}{3}-4\frac{4}{3} =\hspace{0.17em}2.66...... \\ h\left(3\right) =\hspace{0.17em}4- \frac{4\cos \left(2\mathrm{\pi }\right)}{3}-4\frac{4}{3} =\hspace{0.17em}2.66...... \end{gathered}$$

h är inte injektiv eftersom $$\begin{gathered} h\left(0\right) =\hspace{0.17em}h\left(3\right) \\ men \\ 0 =/=3 \end{gathered}$$

Jag ska använda exakta värden så blir det isåfall?

$$\begin{gathered} h\left(0\right) =\hspace{0.17em}2+\frac{2}{3} \\ h\left(3\right) =\hspace{0.17em}2+\frac{2}{3} \end{gathered}$$

 

 

F. Är h en surjektiv funktion? Om ja, ge ett bevis; om nej ge ett motexempel

h(x) varierar mellan 2.6 till 5.3 vilket täcker intervallet [2.6, 5.3]

Vilket innebär att att h(x) är en surjektiv funktion