Bijektiva funktioner

Det räcker att den är strängt monoton för att den ska vara injektiv. Säg att den är strängt växande, detta innebär ju att

$x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$

Så om $f(x_1) = f(x_2)$ och låt $x_1 \le x_2$ så har du ju att om det gäller att $x_1 < x_2$ så följer det att $f(x_1) < f(x_2)$ vilket är en motsägelse. Därför måste det gälla att $x_1 = x_2$, alltså är den injektiv.

Jag skrev injektiv först i både rubriken och i frågan. Jag menade bijektiv...

Okej, ja bijektiv behöver den inte vara. Exempelvis $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ given av $f(x) = \arctan(x)$ är kontinuerlig och strängt växande, men den är inte bijektiv eftersom målmängden inte är lika med värdemängden.

Enligt en uppgift, som jag har facit till, så frågas efter om en funktion avbildar intervallet $(-\infty ,0]$ bijektivt på $(0,1]$. Funktionen är

$f\left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi x}{2(1-x)}\right)$

I facit så beräknas först gränsvärdet då funktionen går mot $-\infty$, och därefter värdet i 0. Sedan bevisas att funktionen är strängt växande. Dessa två påstående leder sedan till slutsatsen att funktionen är bijektiv. Är detta korrekt? 

Ja det blir ju korrekt. Då visar man att alltså att den träffar hela värdemängden som är $(0,\,1]$ samt att man visar att den är injektiv, alltså är en bijektiv.

Okej. Tack!