Initialvärdesproblem med vektorvärd funktion

Hej, jag försöker lösa initialvärdesproblemet för vektorvärda funktionen r som ges av följande villkor:

$\{\begin{cases} \frac{d r}{d t} = k \times r \\ r (0) = i + k \end{cases}$

där $r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k$

Så uppenbarligen är $k \cdot \frac{d r}{d t} = k \cdot (k \times r) = 0$

Skalärprodukten är 0 eftersom k alltid är vinkelrät mot hastigheten, detta måste ju betyda att z(t) är konstant? Efter detta är jag dock väldigt osäker på hur jag ska fortsätta lösa differentialekvationen. Någon som har några tips på hur jag ska tänka?

Tack på förhand!

Edit: rättade till min felaktiga formulering

Nej det följer inte av det där att k skulle vara konstant, åtminstone inte på något sätt som jag förstår iaf.

Eftersom du inte verkar ha någon ekvation för k så ser jag inte hur du ska kunna lösa något.

Stokastisk skrev :
Nej det följer inte av det där att k skulle vara konstant, åtminstone inte på något sätt som jag förstår iaf.
Eftersom du inte verkar ha någon ekvation för k så ser jag inte hur du ska kunna lösa något.

Sorry, menar att z(t) är konstant.
k är basvektorn i z-led, d.v.s r(t) uttrycks:
$r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k$

Men ja, jag känner mig helt lost när det gäller att lösa denna. Känns som att jag saknar förkunskaper även om jag har dessa "på papper" :(

Alternativ 1: Ställ upp systemet i koordinatrepresentation och lös med matrismetoder.

Met detta så menar jag att vi bara skriver r = (x,y,z) och r(0)=(1,0,1)och k=(0,0,1)och stoppar in detta i ekvationen för att få

$(x',y',z') = (0,0,1) \times (x,y,z) = (-y, x,0)$

z-koordinaten spelar alltså ingen roll och förblir 1 för evigt. Därmed räcker det att lösa

$x' = -y$

$y' = x$

med någon metod, om inget annat så fungerar den där man finner egenvärdena och egenvektorerna till den korresonderande matrisen även om det i praktiken är overkill.

(Enklare att observera att ekvationen är ekvivalent med en komplex differentialekvation $z' = iz$ där $z = x + iy$ )

Finns lite alternativa metoder men då detta är ganska rakt att lösa med standardmetoder så känns det rätt så rimligt att köra på dem.

Okej, men tänk på att

$(x_{1}, x_{2}, x_{3}) \times (y_{1}, y_{2}, y_{3}) = [\begin{matrix} 0 & - x_{3} & x_{2} \\ x_{3} & 0 & - x_{1} \\ - x_{2} & x_{1} & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix}]$

Så ekvationen bara en vanlig linjär differentialekvation.

Derivera x'=-y och sätt in y'= x. Det ger en välkänd diffekvation.

SeriousCephalopod skrev :
Alternativ 1: Ställ upp systemet i koordinatrepresentation och lös med matrismetoder.
Met detta så menar jag att vi bara skriver r = (x,y,z) och r(0)=(1,0,1)och k=(0,0,1)och stoppar in detta i ekvationen för att få
$(x',y',z') = (0,0,k) \times (x,y,z) = (-y, x,0)$

Ahhh, tror jag fattar nu. Tänkte inte på att man kunde räkna ut kryssprodukten bara för att komma vidare.

Allt blev mycket tydligare med den där notationen, tack som fan!

Apropå hur man löser differentialekvationen därefter ser jag nu I boken gör de antagandet $\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - \frac{d y}{d t} = - x$

Varför får man göra det? Kryssar de k med $(- y, x, 0)$ för att få fram x:s andraderivata?
Efter det är mina kunskaper tillräckliga för att lösa diffen, men det är en himla massa antaganden som görs i kurslitteraturen som jag är helt obekant med :(

Det de gör i boken är tricket som Henrik Eriksson hänvisar till.

SeriousCephalopod skrev :
Det de gör i boken är tricket som Henrik Eriksson hänvisar till.

Oj, missade det inlägget. Nu förstår jag, tack!

Svara

Visa senaste svar