inhomogena ODE grad 1
Jag ska lösa denna ODE y′ + 5y = 6x − 1 y(5) = −9 och få dess allmäna samt partikulära lösning
Jag sätter y = ax + b så att a + 5ax + 5b = 6x - 1 och sedan får jag
5ax / 5x = 6x / 5x = 1,2 = a
a + 5b = -1 Sedan sätter -a för i båda leden 5b = -2,2 och b = -2,2/5 = -0,44
Då får jag ekvationen 1,2 + 6x -2,2 = 6x - 1 som beskriver a + 5ax + 5b
Facit get: allmäna lösningen: -364/25 * e^25 * e^-5x och partikulär lösningen: 6/5x - 11/25
Vad är det jag missar?
Du har fått fram partikulärlösningen. Det som fattas är den allmänna lösningen, alltså lösningen till y' + 5y = 0.
Den allmänna lösningen skrivs
, där är den allmänna lösningen till den homogena ODE y'+5y=0, medan
är en partikulärlösning till det inhomogena problemet.
Anm: Din ODE är en linjär inhomogen ODE av första ordning. Problemet kan alternativt lösas med användning av integrerande faktor.
Ah tackar. Då räknar jag ut den allmäna lösningen genom y' = 5y och därefter ser jag att y = e^5x då derivatan för y är 5e^5x men jag förstår mig inte på facit.
Det är inte helt rätt, se hur man räknar ut nedan:
https://www.formelsamlingen.se/alla-amnen/matematik/differentialekvationer/homogena-ekvationer
Vilken är lösningen till diffekvationen y'+5y=0?
Oj. jag missade minus tecknet. y = e^-5x och y' = -5e^-5x alltså y' = -5y
Sedan ska bara y(5) = -9 också.
Då bör y(x) = partikulär lösningen + allmäna lösningen alltså y(x) = 6x - 1 + e^-5x
Jag sätter in 5 i x så att 6*5 - 1 + e^-5*5 = 29 vilket inte är -9.
Hm Hur gör man detta?
Din allmänna lösning är inte tillräckligt allmän. Du ska ha en multiplikativ godtycklig konstant också.
Jag gissar att du menar konstaten C då y = Ce^-kx
Jag beräknar C för 6*5 - 1 + Ce^-5*5 = -9
Ce^-25 = -9 -30 + 1 = -38 och därpå C = -38/e^-25 Då blir
y = 6x -1 -38/e^-25 * e^-5x om jag sätter 5 i x blir detta -9. Stämmer detta?
12paul123 skrev:Jag gissar att du menar konstaten C då y = Ce^-kx
Jag beräknar C för 6*5 - 1 + Ce^-5*5 = -9
Ce^-25 = -9 -30 + 1 = -38 och därpå C = -38/e^-25 Då blir
y = 6x -1 -38/e^-25 * e^-5x om jag sätter 5 i x blir detta -9. Stämmer detta?
Nej, du fick fram a och b i början. Det är inte 6x+1 som är partikulärlösningen.
Sammanfattning: Du vet att y=Ce-5x+(6/5)x-11/25 och att y(5)=-9. Det du har kvar är att beräkna värdet på konstanten C.
Ah partikulär lösningen är y = ax + b
då får jag Ce^-25 + 6 - 11/25 = -9 då jag sätter x = 5
C = -9/(e^-25 + 6 - 11/25) vilket också kan skrivas som (-364/25)/e^-25 = C
Dock enligt facit så skrivs det som C = (-364/25)*e^25
Sätt in dels din, dels facits lösning i ursprungs-diffekvationen och kolla vilken som stämmer.
Båda ger samma svar för att detta gäller 1/e^-k = e^k
