Inhomogen linjär differentialekvation av första ordningen

Uppgiften är att lösa differentialekvationen

$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x}y+\left(1+\frac{2}{x^2}\right), där x<0 och y(-1)=0$

Vilkoren känns rätt kontradiktoriska för mej, ty x ska vara -1 vid något tillfäle samtidigt som x<0, eller? Det svar jag får innan jag sätter in begynnelsevilkoren skiljer sig föga från facit, så jag misstänker att det är påslutet jag gör någon miss, förnär jag sätter in begynelsevikoren får jag en term med ln(-1) som jag inte kan hantera. Så här försöker jag lösa differentialekvationen:

$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x}y+\left(1+\frac{2}{x^2}\right) \\ Nu skriver jag på formen y´+g\left(x\right)=f\left(x\right) \\ y´+\frac{1}{x}y=1+\frac{2}{x^2} \\ Sedan använder jag integrerande faktor \\ g\left(x\right)=\frac{1}{x}\Rightarrow G\left(x\right)=\ln \left(x\right) \\ och skriver på formen y=e^{-G\left(x\right)}\int e^{G\left(x\right)}f\left(x\right)dx \\ y=e^{-\ln \left(x\right)}\int e^{\ln \left(x\right)}(1+\frac{2}{x^2})dx\Rightarrow \\ y=\frac{1}{x}\int x\left(1+\frac{2}{x^2}\right)dx \\ då får jag \\ y=\frac{x}{2}+\frac{2\ln \left(x\right)+c}{x} \end{gathered}$$