Inhomogen differentialekvation i första ordningen

Hej!

I frågan

fastnar jag när jag ska göra partiell integration.

Lösningen ska ju bli $y = e^{- G (x)} \int e^{G (x)} f (x) d x$ och i det här fallet blir G(x)= $x^{2}$

Men när jag ska använda lösningsmetoden får jag:
$y = e^{- x^{2}} \int e^{x^{2}} x d x = e^{- x^{2}} (e^{x} \frac{x^{2}}{2} \int 2 x e^{x^{2}} \frac{x^{2}}{2} d x)$

Och sen kommer jag inte längre. Någon som kan ge ett tips på vart jag gör fel?

Med integrerande faktor $e^{x^{2}}$ kan ekvationen skrivas

$\frac{d}{d x} (e^{x^{2}} y (x)) = e^{x^{2}} x$ .

Integration från 0 till x ger

$\int_{0}^{x} \frac{d}{d t} (e^{t^{2}} y (t)) d t = {[e^{t^{2}} y (t)]}_{0}^{x} = \int_{0}^{x} e^{t^{2}} t d t = {[\frac{e^{t^{2}}}{2}]}_{0}^{x}$ , dvs

$e^{x^{2}} y (x) - e^{0} y (0) = \frac{e^{x^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$ , som efter lite algebra (och y(0) = 3) ger oss att

$y (x) = \frac{5}{2} e^{- x^{2}} + \frac{1}{2}$ .

Dubbelkolla svaret med ekvation och begynnelsevärde.

TS: Felet är vid integrationen

$\int\!e^{x^2}x\,\mathrm{d}x=\tfrac{1}{2}\int\!e^{x^2}2x\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}e^{x^2}+C$

vilket efter multiplikation med $e^{-x^2}$ ger dig $y(x)=\frac{1}{2}+Ce^{-x^2}$

$y(0)=\frac{1}{2}+C=3$ ger $C=\frac{5}{2}$ och svaret $y(x)=\frac{5}{2}e^{-x^2}+\frac{1}{2}$ .

Trinity2 skrev:
TS: Felet är vid integrationen
$\int\!e^{x^2}x\,\mathrm{d}x=\tfrac{1}{2}\int\!e^{x^2}2x\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}e^{x^2}+C$
vilket efter multiplikation med $e^{-x^2}$ ger dig $y(x)=\frac{1}{2}+Ce^{-x^2}$
$y(0)=\frac{1}{2}+C=3$ ger $C=\frac{5}{2}$ och svaret $y(x)=\frac{5}{2}e^{-x^2}+\frac{1}{2}$ .

Jag hänger inte riktigt med här, hur blir integralen $\frac{1}{2} \int e^{x^{2}} 2 x d x = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ ?

Att hitta en primitiv funktion till $e^{x^{2}}$ är överkurs känns det som. Missar jag något som gör att det inte ska behövas?

Bananpaj59 skrev:
Trinity2 skrev:
TS: Felet är vid integrationen
$\int\!e^{x^2}x\,\mathrm{d}x=\tfrac{1}{2}\int\!e^{x^2}2x\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}e^{x^2}+C$
vilket efter multiplikation med $e^{-x^2}$ ger dig $y(x)=\frac{1}{2}+Ce^{-x^2}$
$y(0)=\frac{1}{2}+C=3$ ger $C=\frac{5}{2}$ och svaret $y(x)=\frac{5}{2}e^{-x^2}+\frac{1}{2}$ .
Jag hänger inte riktigt med här, hur blir integralen $\frac{1}{2} \int e^{x^{2}} 2 x d x = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ ?
Att hitta en primitiv funktion till $e^{x^{2}}$ är överkurs känns det som. Missar jag något som gör att det inte ska behövas?

Använd substitution, $\frac{1}{2} \int_{}^{} {e^{x}}^{2} 2 x d x = \frac{2}{2} \int_{}^{} {e^{x}}^{2} x d x = [u = x^{2} \to \frac{d u}{d x} = 2 x \to d x = \frac{d u}{2 x}] = \int_{}^{} e^{u} x \frac{1}{2 x} d u = \frac{1}{2} \int_{}^{} e^{u} d u = \frac{1}{2} e^{u} = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

Svara

Visa senaste svar