inhomogen differentialekvation andra ordningen

Hej. Ska lösa ekvationen $y'' + 2 y' - 3 y = 24 x - 18 x^{2}$ ,men har fastnat, har först tagit ut den homogena lösningen: $y'' + 2 y' - 3 y = 0 \Rightarrow r^{2} + 2 r - 3 = 0 \Rightarrow {(r + 1)}^{2} = 3^{+ 1} \Rightarrow r = - 1 \pm 2 \Rightarrow y_{h} = C e^{x} + D e^{- 3 x}$ och sedan den partikulära, men det är där jag fastnar: $y'' + 2 y' - 3 y = 24 x - 18 x^{2} d å a n t o g j a g a t t y_{p} = a x - b x^{2} + C o c h y'_{p} = a - 2 b x o c h y''_{p} = - 2 b$ jag satte in det i formeln och förenklade: $- 2 b + 2 (a - 2 b x) - 3 (a x - b x^{2} + C) = 24 x - 18 x^{2} \Rightarrow - 2 b + 2 a - 4 b x - 3 a x + 3 b x^{2} - 3 C = 24 x - 18 x^{2}$ men vet inte hur jag ska ta mig vidare från det här. tacksam för svar

Hej!

Din homogena lösnings ser korrekt ut! Men som du säger blir det lite struligt med den partikulära. Vi tar det från början jag skulle ansätta $y_{p} = a x^{2} + b x + c \Rightarrow y_{p}^{'} = 2 a x + b \Rightarrow y_{p}^{''} = 2 a$ .

Substitution in i ekvationen ger:

$2 a + 2 (2 a x + b) - 3 (a x^{2} + b x + c) = 2 a + 4 a x + 2 b - 3 a x^{2} - 3 b x - 3 c = - 3 a x^{2} + (4 a - 3 b) x + 2 a + 2 b - 3 c$

Eftersom $VL = HL$ ger det ekvationssystemet:

$\{\begin{cases} - 3 a = - 18 \\ 4 a - 3 b = 24 \\ 2 a + 2 b - 3 c = 0 \end{cases}$

Kommer du vidare nu?

jonis10 skrev:
Hej!
Din homogena lösnings ser korrekt ut! Men som du säger blir det lite struligt med den partikulära. Vi tar det från början jag skulle ansätta $y_{p} = a x^{2} + b x + c \Rightarrow y_{p}^{'} = 2 a x + b \Rightarrow y_{p}^{''} = 2 a$ .
Substitution in i ekvationen ger:
$2 a + 2 (2 a x + b) - 3 (a x^{2} + b x + c) = 2 a + 4 a x + 2 b - 3 a x^{2} - 3 b x - 3 c = - 3 a x^{2} + (4 a - 3 b) x + 2 a + 2 b - 3 c$
Eftersom $VL = HL$ ger det ekvationssystemet:
$\{\begin{cases} - 3 a = - 18 \\ 4 a - 3 b = 24 \\ 2 a + 2 b - 3 c = 0 \end{cases}$
Kommer du vidare nu?

tack så mycket nu löste jag den!

Svara