Inhomogen differentialekvation

Har du testat?

$y= ax^2+bx+c$

$y'= 2ax+b$

$y''=2a$

Vi får vid insättning i ekvationen:

$2a-4(2ax+b)+4(ax^2+bx+c) = -4x^2+8x+2$

Bestäm nu $a,b,c$.

Är det den allmänna lösningen eller partikulära jag får om jag bestämmer a,b och c 

Partikulärlösningen är det alltid när du hittar en lösning för funktionen i högerledet. Homogena lösningen fås genom karakteristisk ekvation:

$y''-4y'+4y=0$

$r^2-4r+4=0$

Lös för $r$.

Jag fick c=1, a=-1 och b=0. Då blev VL=HL. Men jag förstår inte riktigt hur jag gör nu. Är detta rötterna? så att det den allmänna lösningen blir y=Ae^-x+Be^0∙x+Ce^x? Eller hittar jag rötterna genom att använda pq-formeln på r²-4r+4=0? Jag förstår inte varför jag skulle lösa ut a, b och c isåfall eftersom båda leden skulle bli 0 om jag har att VL=HL och sedan vill få VL=0

Du har bestämt partikulärlösningen. Sedan bestämmer du homogena lösningen baserat på lösningen hos den karakteristiska ekvationen.

Bestäm rötterna och ta fram homogena lösningen.

Okej, jag tror jag är med nu! :) Är detta ett korrekt svar?

Jag antar att jag varit otydlig. Detta är differentialekvationen i generell form:

$y''  -4y'+4y=f(x)$

Homogen lösning

Denna lösning gäller differentialekvationen då $f(x)=0$ vilket alltså är:

$y''-4y'+4y=0$

Vi löser karakteristiska ekvationen:

$r^2-4+4=0$

$r_{1,2}=2$

Vi har alltså en dubbelrot vilket ger lösningen:

$y_h = Ae^{2x}+Be^{2x}x=e^{2x}(A+Bx)$

Hade vi fått olika rötter eller komplexa rötter får vi en annan form på lösningen. Detta får man antingen läsa i ett formelblad eller memorera. 

Partikulär lösning

Denna lösning gäller differentialekvationen då $f(x)=-4x^2+8x+2$ vilken vi bestämmer med en ansats:

$y_p = ax^2+bx+c$

Detta ger oss $a=-1$, $b=0$, $c=1$. Vi har alltså:

$y_p = -x^2+1$

Allmän lösning blir:

$y=y_h+y_p = e^{2x}(A+Bx)+1-x^2$

Okej, då är jag med! Jag blandade ihop det en del där haha

Tack så mycket för all hjälp!