Inhägnad rektangulärt område
Jag har en uppgift som jag fastnat på. Den lyder såhär:
Man ska anlägga en inhägnad som består av ett rektangulärt område. Budgeten för inköpen till detta bygge är 10 000 kr. Längs tre sidor kostar materialet 40 kr per meter, men längs den fjärde sidan , som vetter mot gatan, är kostnaden 60 kr per meter. Man vill få så stor yta som möjligt för denna inhägnad utan att spräcka budgeten. Beräkna måtten (längd och bredd) för det rektangulära området.
Jag infogar en bild på hur jag tänkt. 
Skulle behöva lite hjälp med att veta om jag tänkt rätt eller inte?
Ifall jag gjort rätt, finns det enklare sätt att lösa ?
Och om jag gjort fel, guida mig i rätt riktning.
Tack. :-)
Välkommen till Pluggakuten!
De billiga sidorna kostar 3*40*x
Den dyra sidan kostar 60*y
Totalt får de kosta 10000=3*40*x+60*y
Arean =x*y
Om du använder det första uttrycket och skriver om det så att du får y= ...... och sedan sätter in det uttrycket i A=x*y
får du ett uttryck för A (det blir ett andragradsuttryck)
Nu vill du att A skall bli så stort som möjligt.
Vet du hur du får fram max för ett en 2:a-gradsekvation?
Jaha, okej.
Då har jag missuppfattat frågan. Jag trodde de tre sidorna kostade totalt 40kr. Men det är alltså 40kr*3.
Y= 120x * 0.5 . Eller tänker jag fel ?
Sen är jag någonstans i tankarna om :
0,5(120x)+3*40*x = 180x
180x = 10000
X = 55,55
Y=120*55.55*0.5=3333
Känns som jag är helt ute och cyklar hur jag tänker dock..
Man kan nog räkna på olika sätt, men här är ett förslag.
I bilden kallade jag sidorna för b (bredd) och h (höjd). Sidorna b och h mäts i meter. Jag satte också ut priset för staketet. På en sida kostar staketet 60 kr/meter, på de andra tre sidorna kostar staketet 40 kr/meter.
Sidan mot vägen kostar b * 60 kr, motstående sida kostar b * 40 kr, och de två andra sidorna kostar h * 40 kr.
Kan du ta fram ett uttryck för alla fyra sidorna tillsammans, när totala kostnaden för staketet ska bli 10 000 kr?
Sten skrev:Man kan nog räkna på olika sätt, men här är ett förslag.
I bilden kallade jag sidorna för b (bredd) och h (höjd). Sidorna b och h mäts i meter. Jag satte också ut priset för staketet. På en sida kostar staketet 60 kr/meter, på de andra tre sidorna kostar staketet 40 kr/meter.
Sidan mot vägen kostar b * 60 kr, motstående sida kostar b * 40 kr, och de två andra sidorna kostar h * 40 kr.
Kan du ta fram ett uttryck för alla fyra sidorna tillsammans, när totala kostnaden för staketet ska bli 10 000 kr?
Ska jag ta:
(b*60) (b*40) + (h*40) (h*40) = 10000
eller är detta fel?
Jag borde skrivit till exempel 60b (eller 60*b) i stället för b*60, då blir det lättare att läsa.
Staketet består av fyra sidor, totala kostnaden får man om man lägger ihop de fyra sidorna, alltså:
Kostnaden för de fyra sidorna blir 40h + 60b + 40h + 40b = 10 000
Det kan man förenkla till 80h + 100b = 10000. Är du med på det?
Sten skrev:Jag borde skrivit till exempel 60b (eller 60*b) i stället för b*60, då blir det lättare att läsa.
Staketet består av fyra sidor, totala kostnaden får man om man lägger ihop de fyra sidorna, alltså:
Kostnaden för de fyra sidorna blir 40h + 60b + 40h + 40b = 10 000
Det kan man förenkla till 80h + 100b = 10000. Är du med på det?
Okej, japp detta är jag med på!
Jag har suttit med denna uppgift ett tag och försökt komma på hur jag ska tänka, så det har blivit alldeles snurrigt i skallen.
Men detta är jag med på!
Fint, då är vi överens om att 80h + 100b = 10000
Det vi ska göra sedan är att få fram relationen mellan h och b, och därefter räkna ut arean.
Vi försöker därför få ett av b och h på en sida i formeln, jag väljer h.
80h + 100b = 10000 kan skrivas om till
80h = 10000 - 100b (b flyttas över till högra sidan)
(division med 80 för att få h fritt)
h = 125 - 1,25b (förenkling av uttrycket ovan)
Arean i rektangeln ska vara så stor som möjligt.
Arean = b*h. Om vi sätter in uttrycket för h enligt formeln ovan får vi Arean = b* (125 - 1,25b)
Är du med så här långt?
Sten skrev:Fint, då är vi överens om att 80h + 100b = 10000
Det vi ska göra sedan är att få fram relationen mellan h och b, och därefter räkna ut arean.
Vi försöker därför få ett av b och h på en sida i formeln, jag väljer h.
80h + 100b = 10000 kan skrivas om till
80h = 10000 - 100b (b flyttas över till högra sidan)
(division med 80 för att få h fritt)
h = 125 - 1,25b (förenkling av uttrycket ovan)
Arean i rektangeln ska vara så stor som möjligt.
Arean = b*h. Om vi sätter in uttrycket för h enligt formeln ovan får vi Arean = b* (125 - 1,25b)
Är du med så här långt?
Japp, jag är med! :-)
Tobleronetrollkar skrev:Sten skrev:Fint, då är vi överens om att 80h + 100b = 10000
Det vi ska göra sedan är att få fram relationen mellan h och b, och därefter räkna ut arean.
Vi försöker därför få ett av b och h på en sida i formeln, jag väljer h.
80h + 100b = 10000 kan skrivas om till
80h = 10000 - 100b (b flyttas över till högra sidan)
(division med 80 för att få h fritt)
h = 125 - 1,25b (förenkling av uttrycket ovan)
Arean i rektangeln ska vara så stor som möjligt.
Arean = b*h. Om vi sätter in uttrycket för h enligt formeln ovan får vi Arean = b* (125 - 1,25b)
Är du med så här långt?
Japp, jag är med! :-)
Göra samma sak för b nu, sen gångra de med varandra?
Fint.
Vi har kommit fram till att Arean = b* (125 - 1,25b).
Det betyder att vi får olika värde på arean beroende på vilket värde vi sätter på b. Men vilket värde på b ger största arean?
Det börjar likna en andragradsekvation, där Arean beror på b (bredden).
För att få det att likna en andragradsekvation kallar jag Arean för y och byter ut b till x.
Alltså: y = x * (125 - 1,25x)
En andragradsekvation har två nollställen, är du med på att symmetrilinjen ligger mellan de båda nollställena? Funktionen har sitt största (eller minsta) värde på symmetrilinjen.
Kan du hitta nollställena i andragradsekvationen ovan? Något annat som är oklart?
Sten skrev:Fint.
Vi har kommit fram till att Arean = b* (125 - 1,25b).
Det betyder att vi får olika värde på arean beroende på vilket värde vi sätter på b. Men vilket värde på b ger största arean?
Det börjar likna en andragradsekvation, där Arean beror på b (bredden).
För att få det att likna en andragradsekvation kallar jag Arean för y och byter ut b till x.
Alltså: y = x * (125 - 1,25x)
En andragradsekvation har två nollställen, är du med på att symmetrilinjen ligger mellan de båda nollställena? Funktionen har sitt största (eller minsta) värde på symmetrilinjen.
Kan du hitta nollställena i andragradsekvationen ovan? Något annat som är oklart?
Hmm.. här tappade du nog mig lite.
Ska jag alltså lösa x*(125-1,25x) ?
Det får jag isåfall till 125x-1,25x^2
Sen byter jag sida och delar med 1,25
Så får jag:
x^2 -100= 0
Löser denna med PQ-formel och får:
x1 = 50+50= 100, x2 = 50-50=0
OK. Säg bara till var du fastnar, så får du hjälp.
Eftersom du läser Matte 2, så tror jag att ni brukar titta på symmetrilinjen för att hitta högsta värde i en andragradsekvation. I Matte 3 får du lära dig andra sätt.
Är du med så här långt: y = x * (125 - 1,25x). Eller något på vägen dit som är oklart?
Det stämmer att du ska lösa y = x*(125-1,25x). Nollställen hittar man genom att sätta y till 0.
pq-formeln fungerar, då ska du utgå från 125x-1,25x^2 = 0, alltså sätta uttrycket till 0. Testa gärna pq-formeln, vilka nollställen får du då?
Men det finns ett enklare sätt att räkna ut nollställena genom x*(125-1,25x) = 0.
Om x*(125-1,25x) ska bli =0, så betyder det att tecknet före parentesen, alltså x, = 0. Eller så är värdet av parentesen = 0, alltså (125-1,25x) = 0. Parentesen blir = 0 om 125 = 1,25x, alltså om x = 100.
Slutsatsen blir att y = x * (125 - 1,25x) har två nollställen: 0 och 100. Symmetrilinjen ligger mitt emellan nollställena, alltså när x = 50. Har du tillgång till en grafritare kan du testa att rita upp grafen.
x = 50 är maxvärdet för ekvationen. Tidigare i uträkningen ser du att x motsvarar b, alltså bredden i rektangeln. Bredden är alltså 50 meter. Längden får du fram genom att beräkna h = 125 - 1,25b, en formel vi kom fram till tidigare.
Det här var en svår uppgift, men vi har kommit igenom den. Men ställ frågor på allt i tråden som är oklart!
Grafen av funktionen, ritad i GeoGebra:
Sten skrev:OK. Säg bara till var du fastnar, så får du hjälp.
Eftersom du läser Matte 2, så tror jag att ni brukar titta på symmetrilinjen för att hitta högsta värde i en andragradsekvation. I Matte 3 får du lära dig andra sätt.
Är du med så här långt: y = x * (125 - 1,25x). Eller något på vägen dit som är oklart?
Det stämmer att du ska lösa y = x*(125-1,25x). Nollställen hittar man genom att sätta y till 0.
pq-formeln fungerar, då ska du utgå från 125x-1,25x^2 = 0, alltså sätta uttrycket till 0. Testa gärna pq-formeln, vilka nollställen får du då?
Men det finns ett enklare sätt att räkna ut nollställena genom x*(125-1,25x) = 0.
Om x*(125-1,25x) ska bli =0, så betyder det att tecknet före parentesen, alltså x, = 0. Eller så är värdet av parentesen = 0, alltså (125-1,25x) = 0. Parentesen blir = 0 om 125 = 1,25x, alltså om x = 100.
Slutsatsen blir att y = x * (125 - 1,25x) har två nollställen: 0 och 100. Symmetrilinjen ligger mitt emellan nollställena, alltså när x = 50. Har du tillgång till en grafritare kan du testa att rita upp grafen.
x = 50 är maxvärdet för ekvationen. Tidigare i uträkningen ser du att x motsvarar b, alltså bredden i rektangeln. Bredden är alltså 50 meter. Längden får du fram genom att beräkna h = 125 - 1,25b, en formel vi kom fram till tidigare.
Det här var en svår uppgift, men vi har kommit igenom den. Men ställ frågor på allt i tråden som är oklart!
Ah! Snyggt. jag fick ju samma nollställen med min PQ formel(x1=0,x2=100) som du fick med nollproduktsmeton(vill jag minnas att den kallas?)
Som svar får jag nu att bredden är 50m och höjden är 62.5m.
Jag får tacka super mycket för ditt tålamod och din hjälp. Det var verkligen en super tuff fråga för mig som jag inte kunnat lösa utan hjälp. :-)
Bra jobbat!
Det är en svår fråga. Tveka inte att fråga om du är osäker på något steg.
Välkommen tillbaka till Pluggakuten!
