Införande av en ny obekant

Ja, man substituerar på det viset för att få en ekvation, som är lättare att lösa. Du får alltså en ekvation för t, och när du löst den och fått t=... (troligtvis flera rötter), ersätts t igen med x^2+2x och den nya andragradsekvationen löses igen för x.

Ok,tack!

Blev tyvärr inte jättemycket klokare.

Skulle man kunna få ett exempel.

Tack!

Kan du göra ett nytt försök att skriva in ekvationen det handlar om? Jag klarar nämligen inte att tyda den.

tex:\displaystyle \displaystyle\frac{2x^2+4x+1}{x^2+2x}-\frac{2x^2+4x-1}{x^2+2x-1}+\frac{1}{6}=0.

Om nu ekvationen kanske är (2x^2+4x+1)/(x^2+2x) - (2x^2+4x-1)/(x^2+2x-1)+1/6=0, så med den föreslagna substitutionen blir det i stället (2t+1)/t - (2t-1)/(t-1) + 1/6 = 0. Det kanske är lättare att hantera.

Välkommen till Pluggakuten!

När man har en så komplicerad ekvation som du har

    $\displaystyle \frac{2x^2+4x+1}{x^2+2x} - \frac{2x^2+4x-1}{x^2+2x-1} + \frac{1}{6} = 0$

så är det ofta en bra idé att försöka att förenkla bråken så långt det är möjligt. I ditt fall gäller det att försöka uttrycka täljaren med hjälp av nämnaren, på något sätt.

Du kan splittra upp täljaren som

    $\displaystyle 2x^2+4x+1 = x^2 + x^2 + 2x + 2x + 1 = 2(x^2+2x) + 1$

och den andra täljaren kan du skriva

    $\displaystyle 2x^2+4x-1 = x^2+x^2+2x + 2x - 1 = x^2+x^2+2x+2x - 1 - 1 + 1 = 2(x^2+2x-1) + 1\ .$

Det gör att din ekvation nu kan skrivas på följande sätt, som förhoppningsvis är enklare att arbeta med.

    $\displaystyle \frac{2(x^2+2x) + 1}{x^2+2x} - \frac{2(x^2+2x-1) + 1}{x^2+2x-1} + \frac{1}{6} = 0 \ .$

Efter att ha förenklat bråken står det

     $\displaystyle 2 +\frac{1}{x^2+2x} - 2 - \frac{1}{x^2+2x-1} + \frac{1}{6} = 0$

vilket är samma sak som ekvationen

    Error converting from LaTeX to MathML

Om du nu inför beteckningen $t = x^2+2x$ så blir ekvationen litet enklare att hantera.

    $\displaystyle \frac{1}{t} - \frac{1}{t-1} + \frac{1}{6} = 0\ .$

Eftersom man inte får dividera med talet noll så ser du att talet $t$ inte får vara lika med $0$ och att talet $(t-1)$ inte får vara lika med 0; om ekvationen för $t$ har en lösning överhuvudtaget så kan den inte vara 0 eller 1.

Om du gör skriver $\frac{1}{t} - \frac{1}{t-1}$ på gemensam nämnare så kommer du att se att din ekvation är samma sak som denna andragradsekvation:

    $\displaystyle t^2-t-6 = 0.$                (1)

När du väl har bestämt vad talet $t$ kan vara så gäller det att bestämma det motsvarande x-värdet, vilket betyder att du ska lösa andragradsekvationer $x^2+2x - t = 0$, där du nu ersätter $t$ med lösningen till ekvationen (1) ovanför.

Om du exempelvis fann att $t = 3$ var en lösning så skulle du lösa ekvationen $x^2+2x-3 = 0$ för att finna x-värdet (eller x-värdena) som svarar mot $t=3.$

Albiki

Tack för all hjälp.