Inflexionspunkt
Hej,
Detta med inflexionspunkt. Är det alltså där 1a derivatan har en extrempunkt oavsett dess karaktär? Är inflexionspunkt= de olika extrempunkterna?
Funktionen går från att vara konkavtill konvex eller tvärtom, dvs avtagande respektiva växande.
Och den kan även finnas där 2:a derivatan är noll, men inte ett måste?
Mvh/H
Inflexionspunkt är där derivatan går från avtagande till växande eller tvärtom. Andraderivatan är noll där, men andraderivatan kan vara noll utan att det är en inflexionspunkt, t.ex. för y = x4.
Respektive
Hej,
Men då undrar jag om det jag skrev e korrekt/inkorrekt, är inflexionspunkten=extrempunkt/erna?
I en inflexionspunkt har derivatan ett lokalt minimum eller maximum.
Så 1a derivatans nollställe, dvs dess max/min, dock ingen terrasspunkt i en inflexionspunkt?
Vet inte dock om jag e med riktigt..
Mvh/H
En terrasspunkt är en inflexionspunkt. Där är derivatan noll.
Så är alla extrempunkter inflexionspunkter?
Mvh/H
Nej.
Hej,
Kort o koncist. Så 1a derivatans nollställe, dess max/minpunkt e ingen inflexionspunkt?
Är det enbart 2a derivatan som man pratar om inflexionspunkt, inte 1a derivatan?
Vad är/innebär egentligen inflexionspunkt mer än att det är där 2:a derivatan är avtagande respektive växande ,dvs dess nollställen?
Mvh/H
Henrik 2 skrev:Hej,
Kort o koncist. Så 1a derivatans nollställe, dess max/minpunkt e ingen inflexionspunkt?
Det stämmer.
Är det enbart 2a derivatan som man pratar om inflexionspunkt, inte 1a derivatan?
Det stämmer.
Vad är/innebär egentligen inflexionspunkt mer än att det är där 2:a derivatan är avtagande respektive växande ,dvs dess nollställen?
En inflexionspunkt är en punkt där en funktion övergår från att vara konkav till att vara konvex (eller tvärtom).
En nödvändig (men inte tillräcklig) förutsättning för att en punkt ska vara en inflexionspunkt är att andraderivatan har värdet 0 i punkten.
Exempel 1:
Vi vill ta reda på om funktionen f(x) = x3 har någon inflexionspunkt.
Vi börjar då med att leta efter punkter där andraderivatan är lika med 0, dvs vi löser ekvationen 6x = 0.
Ekvationen har endast en lösning, nämligen x = 0. Det betyder att x = 0 kan vara en inflexionspunkt. Men är den det?
I det här fallet ja, eftersom f(x) är konkav för x < 0 och konvex för x > 0.
Men hur vet vi det?
Vi vet att om f''(x) < 0 i ett intervall så är f(x) konkav i detta intervall.
Vi vet att om f''(x) > 0 i ett intervall så är f(x) konvex i detta intervall.
Med hjälp av en teckentabell ser vi att f''(x) < 0 då x < 0, f''(x) = 0 då x = 0 och f''(x) > 0 då x > 0.
Alltså övergår funktionen från att vara konkav till att vara konvex i x = 0.
Alltså är x = 0 en inflexionspunkt för f(x) = x3.
======
Exempel 2:
Vi vill ta reda på om funktionen f(x) = x4 har någon inflexionspunkt.
Vi börjar då med att leta efter punkter där andraderivatan är lika med 0, dvs vi löser ekvationen 12x2 = 0.
Ekvationen har endast en lösning, nämligen x = 0. Det betyder att x = 0 kan vara en inflexionspunkt. Men är den det?
I det här fallet nej, eftersom f(x) är konkvex både för x < 0 och för x > 0.
Men hur vet vi det?
Vi vet att om f''(x) < 0 i ett intervall så är f(x) konkav i detta intervall.Vi vet att om f''(x) > 0 i ett intervall så är f(x) konvex i detta intervall.
Med hjälp av en teckentabell ser vi att f''(x) > 0 då x < 0, f''(x) = 0 då x = 0 och f''(x) > 0 då x > 0.
Alltså övergår funktionen inte från att vara konkav till att vara konvex i x = 0.
Alltså är x = 0 inte en inflexionspunkt för f(x) = x4.
=====
Läs gärna mer om inflexionspunkt här och fråga sedan oss om allt du vill att vi förklarar närmare.
Hej Y
Jag hänger med fram till, se nedan, med exemplet av f(x)= x3. ,men sedan blir det aldelles för svårt för mig att förstå . Behöver se funktion/graf för att förstå detta.
Kan du bifoga en sådan med förklaringar till till det som du tog som exempel med 4e respektive 3dje gradare?
Vi vet att om f''(x) < 0 i ett intervall så är f(x) konkav i detta intervall.
Vi vet att om f''(x) > 0 i ett intervall så är f(x) konvex i detta intervall.
Med hjälp av en teckentabell ser vi att f''(x) < 0 då x < 0, f''(x) = 0 då x = 0 och f''(x) > 0 då x > 0.
Alltså övergår funktionen från att vara konkav till att vara konvex i x = 0.
Alltså är x = 0 en inflexionspunkt för f(x) = x3.
Mvh/H
Henrik 2 skrev:Jag hänger med fram till, se nedan, med exemplet av f(x)= x3. ,men sedan blir det aldelles för svårt för mig att förstå . Behöver se funktion/graf för att förstå detta.
Kan du bifoga en sådan med förklaringar till till det som du tog som exempel med 4e respektive 3dje gradare?
Exempel 1: f(x) = x3. Inflexionspunkt i origo:
Exempel 2: f(x) = x4. Inte inflexionspunkt i origo:
Aha,
Kikade också på Mathleak o när man ser bild så förstår man bättre dess intervall, när x är mindre än eller större än noll. Ser nu konkav sedan konvex, och det är nollställe är, f(x)= x3 en terrasspunkt?
Så konkav, mindre ä noll, e den upp till den kommer till nollstället, sedan själva nollstället där x=0, o därefter blir/är den konvex o större än noll?
X4 är en parabel, eller?
Ser att den är konvex hela vägen, och således byter den ej från att vara konvex till att vara konkav eller vice versa
Jag e lite dålig på att se hur 3dje respektive 4e gradare ser ut i grafen, o hur dem går. Hur ser man
t ex att dessa två är en 3dje respektive en 4e gradare?
Mvh/H
Henrik 2 skrev:Kikade också på Mathleak o när man ser bild så förstår man bättre dess intervall, när x är mindre än eller större än noll. Ser nu konkav sedan konvex, och det är nollställe är, f(x)= x3 en terrasspunkt?
Ja, funktionen har en terrasspunkt i origo (men det finns även inflexionspunkter som inte är terrasspunkter).
Så konkav, mindre ä noll, e den upp till den kommer till nollstället, sedan själva nollstället där x=0, o därefter blir/är den konvex o större än noll?
Du får vara mer specifik om du vill att jag ska svara på det. Vad är det som är mindre än 0 innan och större än noll efter nollstället?
X4 är en parabel, eller?
Nej, der ör endast kvadratiska samband som kan ge parabler.
Ser att den är konvex hela vägen, och således byter den ej från att vara konvex till att vara konkav eller vice versa
Jag e lite dålig på att se hur 3dje respektive 4e gradare ser ut i grafen, o hur dem går. Hur ser man
t ex att dessa två är en 3dje respektive en 4e gradare?
Det gör man inte direkt, men du kan se att den första grafen bör ha en udda exponent och den andra grafen en jämn exponent.
Detta eftersom det gäller att f(-x) = f(x) I första fallet (udda funktion) och f(-x) = f(x) I andra fallet (jämn funktion).
Hej Y,
Ok, vet dock inte om jag förstod allt..:)
