Infinite / finite geometric series

Vi har startvärdet 249*10^9 (249 miljarder) ton järn, och år 1971 så använder vi upp 794*10^6 och sedan så ökade denna konsumption med 5% varje år. De frågar då efter hur många år är järnet slut? Det första vi måste göra är att ställa upp en ekvation som säger just detta, att något ökar/minskar med x procent per tidsenhet kanske vi känner igen från ekonomi (ränta), det är ju $startvärde{\left(procent\right)}^{tid}.$

Vi vill då säga: $Startvärde-konsumption=0$, då vi vill veta hur länge vi kan konsumera järnet tills det tar slut, det kluriga är att ställa upp konsumptionen som en geometrisk summa, vi konsumerar $794*{10}^6$ton varje år och detta ökar med 5% för varje år, så konsumptionen kan skrivas: 

$\sum _{n=0}^{x}794*{10}^6{(1.05)}^n$, där x är tiden som vi vill ta reda på, och 1.05 är ökningen med 5% för varje år, vi får då:

Startvärde-konsumption=0 $\to$ $249*{10}^9-\sum _{n=0}^{1}794*{10}^6{(1.05)}^n=0$

$249*{10}^9-794*{10}^6\sum _{n=0}^1{(1.05)}^n=0$

Summan är en geometrisk serie som vi har en formel för,  $\sum _{i=0}^n r^i=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}$  så vi får:

$249*{10}^9-794*{10}^6\left(\frac{1-1.{05}^{x+1}}{1-1.05}\right)=0$

Löser man detta så får man x = 56.68 ungefär, eller exakt $x=\frac{\ln \left(1-{\displaystyle \frac{249*{10}^9}{794*{10}^6}}\left(1-1.05\right)\right)}{\ln \left(1.05\right)}=56.67999...$år, dvs ungefär 57 år, 1971 + 57 år blir 2028 så det verkar stämma. Vill man svara mer exakt så kan man leka runt med beräkningarna och säga att järnet tar slut den 5 september 2028 kl 08:45 på morgonen. Om någon vill dubbelkolla att datumet stämmer go ahead.

Tack! Jag förstod precis!