Infinite

Jag tänker att:

$$\begin{gathered} \infty +\infty =2\infty =\infty \\ \infty -\infty \approx {\left({10}^{100}\right)}^{100}- {\left({10}^{100}\right)}^{100}=0 \\ 0\times \infty \approx {\left({10}^{-100}\right)}^{-100}\times {\left({10}^{100}\right)}^{100}=1 \\ \frac{0}{0}\approx \frac{{\left({10}^{-100}\right)}^{-100}}{{\left({10}^{-100}\right)}^{-100}}=1 \\ {0}^0=\infty \approx {\left({10}^{-100}\right)}^{-100} \\ 1^{\infty } =1\times 1\times 1\times 1\times 1\times 1\times 1\times 1\times 1\times 1\times 1...=1 \end{gathered}$$

Jag förväntar mig respons på detta :-)

Affe Jkpg skrev:

Jag tänker att:

$$\begin{gathered} \infty +\infty =2\infty =\infty \\ \infty -\infty \approx {\left({10}^{100}\right)}^{100}- {\left({10}^{100}\right)}^{100}=0 \\ 0\times \infty \approx {\left({10}^{-100}\right)}^{100}\times {\left({10}^{100}\right)}^{100}=1 \\ \frac{0}{0}\approx \frac{{\left({10}^{-100}\right)}^{100}}{{\left({10}^{-100}\right)}^{100}}=1 \\ {0}^0=0\approx {\left({10}^{-100}\right)}^{100} \\ 1^{\infty } =1\times 1\times 1\times 1\times 1\times 1\times 1\times 1\times 1\times 1\times 1...=1 \end{gathered}$$

Jag förväntar mig respons på detta :-)

Ingen protesterar, så jag får justera lite själv :-)

$$\begin{gathered} \infty +\infty =2\infty =\infty \\ \infty -\infty \approx {\left({10}^{100}\right)}^{100}- {\left({10}^{100}\right)}^{100}=0 \\ 0\times \infty \approx {\left({10}^{-100}\right)}^{100}\times {\left({10}^{100}\right)}^{100}=1 \\ \frac{0}{0}\approx \frac{{\left({10}^{-100}\right)}^{100}}{{\left({10}^{-100}\right)}^{100}}=1 \\ {0}^0=1\approx {\left({10}^{-100}\right)}^{{10}^{-100}} \\ 1^{\infty } =1\times 1\times 1\times 1\times 1\times 1\times 1\times 1\times 1\times 1\times 1...=1 \end{gathered}$$

$\infty -\infty$ kan ha vilket värde som helst. Exempel:

Du har alla positiva heltal i en stor skål och tar bort alla positiva heltal. Hur många tal är kvar?

Du har alla positiva heltal i en stor skål och tar bort alla jämna heltal. Hur många tal är kvar?

Du har alla positiva heltal i en stor skål och tar bort alla positiva heltal som är större än fem. Hur många tal är kvar?

Din första fråga verkar vara ungefär denna. Låt $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ och $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ vara två funktioner sådana att $\lim_{x\to \infty} {f(x)}=\infty$ och $\lim_{x\to\infty} {g(x)}=\infty$. Kan vi då vara säkra på att $\lim_{x\to\infty} ({f(x)+g(x)}) =\infty$?

Svaret är ja, och det är relativt enkelt att visa med hjälp av definitionen av gränsvärde. Har du provat? Återkom gärna med ett eget försök eller en ansats, så hjälper jag eller någon annan här gärna dig vidare! :-)

Din andra fråga verkar handla om huruvida man kan utvidga de vanliga naturliga och/eller reella talen med ett nytt tal $\infty$ som är "oändligt stort", och vad som i så fall händer med våra vanliga räknesätt (addition, subtraktion, multiplikation, divsion och upphöjt till).

Detta kan man göra, men problemet är att det finns flera olika sätt att göra det på, och inget sätt är helt tillfredställande eller sådär jätteanvändbart eller matematiskt intressant. I princip alla sätt som jag känner till har någon form av nackdel, i bemärkelsen att man tvingas ge upp någon av de vanliga egenskaperna hos räknesätten.

En variant är något i stil med det som Smaragdalena är inne på, att på något vis koppla ihop naturliga tal med storlekar av mängder (så kallade kardinaltal). Talet 5 kan då till exempel beteckna de mängder som har fem element i sig. Räknesätten kan med detta synsätt kopplas ihop med mängdoperationer. Väldigt snabbt förklarat (säg till om du vill höra en längre utläggning om detta !:D ) går det till ungefär så här:

• Addition motsvarar att man lägger ihop två (disjunkta) mängder (om vi lägger ihop en mängd {a,b} med 2 element, med en mängd {x,y,z} med 3 element, så får vi en mängd med {a,b,x,y,z} med 5 element, dvs. 2+3=5).
• Subtraktion att man tar bort bort en delmängd (om vi tar bort en delmängd med {a,b} med 2 element från en mängd {a,b,c,d,e} med 5 så får vi en mängd {c,d,e} med 3 element).
• Multiplikation motsvarar att man bildar samlingen av alla par av två mängder (den så kallade kartesiska produkten).
• Division kan (typ) beskrivas med hjälp av ett lite mer avancerat begrepp som kallas för ekvivalensklasser.
• "Upphöjt till" motsvarar att man räknar antalet funktioner mellan två mängder. (Sidenote: med detta perspektiv blir det naturligt att sätta $0^0=1$.)

Med det här perspektivet blir det naturligt att låta $\infty$ beteckna de mängder som har ett icke-ändligt antal element, dvs. mängder i stil med $\mathbb{Z}$. (Sidenote: som du kanske vet finns det oändliga mängder som är "mer" oändligt stora än andra, exempelvis är $\mathbb{R}$ större än $\mathbb{Q}$ som dock är lika oändligt stor som $\mathbb{Z}$, så kan man till och med införa en symbol för varje sådan oändlighet, t.ex. $\aleph_0$ för storleken av $\mathbb{Z}$ och $\mathcal{c}$ för storleken av $\mathbb{R}$.)

Det blir då ganska enkelt att utvidga addition, multiplikation och upphöjt till, men vi får stora problem när vi ska definiera minus som Smaragdalena redan har visat. Det finns liksom inget rimligt sätt att svara på vad $\infty-\infty$ borde bli, eftersom du kan få alla möjliga mängdstorlekar när du tar bort en oändlig delmängd från en oändligt stor mängd!

Ett annat alternativ är att göra något i stil med det Affe Jkpg beskriver. Man kan t.ex. helt enkelt ta den annars odefinierade divsionen $\frac{1}{0}$ och ge den symbolen $\infty$. (Tittar man på grafen till $y=1/x$ så ser vi ju att vi går mot oändligheten när $x\to 0$ från det positiva hållet, så det är ju typ rimligt ändå, kan man tycka.) Och sen kan man hitta på mer eller mindre intuitiva algebraiska regler för hur det här nya mystiska talet ska fungera.

Problemet är att det (så vitt jag vet i alla fall) inte finns något helt bra sätt att göra detta på, utan att någon av de vanliga algebraiska reglerna går sönder, och på det hela taget verkar aritmetik med $\infty$ och olika former av nolldivision inte ha fått några direkta tillämpningar (återigen: så vitt jag känner till i alla fall). Ett av de mer seriösa försöken att få ihop detta till något vettigt har gjorts av de den svenska matematiken Jesper Carlström, se gärna diskussionen i den här tråden där jag försöker förklara ungefär hur hans approach fungerar, och vilka räkneregler som den kräver att man ger upp.

Smaragdalena skrev:

$\infty -\infty$ kan ha vilket värde som helst. Exempel:

Du har alla positiva heltal i en stor skål och tar bort alla positiva heltal. Hur många tal är kvar?

Du har alla positiva heltal i en stor skål och tar bort alla jämna heltal. Hur många tal är kvar?

Du har alla positiva heltal i en stor skål och tar bort alla positiva heltal som är större än fem. Hur många tal är kvar?

Du har alla positiva heltal i en stor skål och tar bort alla jämna heltal. Hur många tal är kvar?

${\left({10}^{100}\right)}^{100}-\frac{1}{2}{\left({10}^{100}\right)}^{100}=\frac{1}{2}{\left({10}^{100}\right)}^{100}$

Det där är inte oändligt många tal, Affe!

$({10}^{100})^{100}$ är inte så stort. $10^{100}^{100}$ är större.

Smaragdalena skrev:

Det där är inte oändligt många tal, Affe!

Man kan "mata på" med höga tal i potenserna, så kommer man bra nära oändligheten :-)

Affe Jkpg skrev:

Smaragdalena skrev:

Det där är inte oändligt många tal, Affe!

Man kan "mata på" med höga tal i potenserna, så kommer man bra nära oändligheten :-)

Hur nära du vill, men du kommer ändå aldrig ända fram. Jag kan alltid säga "plus ett!" och få ett tal som är större än ditt.

Smaragdalena skrev:

Affe Jkpg skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

Det där är inte oändligt många tal, Affe!

Man kan "mata på" med höga tal i potenserna, så kommer man bra nära oändligheten :-)

Hur nära du vill, men du kommer ändå aldrig ända fram. Jag kan alltid säga "plus ett!" och få ett tal som är större än ditt.

Jag har inga problem med det! 

$(1+{10}^{{1000}^{1000}})-(1+{10}^{{1000}^{1000}})=0$

v.s.b. :-)

Affe Jkpg skrev:

Smaragdalena skrev:

Visa föregående citat

Affe Jkpg skrev:

Smaragdalena skrev:

Det där är inte oändligt många tal, Affe!

Man kan "mata på" med höga tal i potenserna, så kommer man bra nära oändligheten :-)

Hur nära du vill, men du kommer ändå aldrig ända fram. Jag kan alltid säga "plus ett!" och få ett tal som är större än ditt.

Jag har inga problem med det! 

$(1+{10}^{{1000}^{1000}})-(1+{10}^{{1000}^{1000}})=0$

v.s.b. :-)

Självklart, men det har absolut ingenting med oändligheter att göra. Enormt superstora heltal, javisst, men inte oändliga.

Självklart, men det har absolut ingenting med oändligheter att göra. Enormt superstora heltal, javisst, men inte oändliga.

Kan du berätta vid vilket reelt tal som subtraktionen övergår från att vara noll till att vara odefinierbart?

Kan du berätta vid vilket reelt tal som subtraktionen övergår från att vara noll till att vara odefinierbart?

Nej, eftersom det inte finns något sådant tal. Vilket tal man än väljer, så finns det andra reella tal som är större. De reella talen är oändligt många.

Nej, eftersom det inte finns något sådant tal. Vilket tal man än väljer, så finns det andra reella tal som är större. De reella talen är oändligt många.

Jag tycker att man kan beskriva det som att två oändlighets-tecken inte nödvändigtvis beskriver samma oändlighet. Ett enkelt exempel:

$\left(\underset{x\to \infty }{\lim }\right(x+1\left)\right)-\left(\underset{x\to \infty }{\lim }\right(x\left)\right)=\infty -\infty \ne 0$

Man kan resonera på liknande sätt för att $\frac{0}{0}\mathbf{\ne }1$