12 svar
704 visningar
lund behöver inte mer hjälp
lund 529
Postad: 1 feb 2022 00:17 Redigerad: 1 feb 2022 00:18

Infimum och supremum

Hej,

Jag undrar lite kring supremum och maximum av en mängd M={x:x3-x2-6x>0}M=\{x \in \mathbb{R}: x^3-x^2-6x>0\}, supremum hittade jag kanska enkelt då x3-x2-6xx^3-x^2-6x är växande för x som är större än 3 så supM=supM=\infty, men däremot har jag det lite svårare med supremum. 

Då funktionen måste vara större än noll kan den inte anta x-värden som är lika med -2 eller mindre, inte heller kan den anta x-värden som är lika med noll upp till tre. Funktionen går mot 0 då x -2x \rightarrow -2 eller x0x \rightarrow 0, ska då denna anses som ett infimum som inte tillhör mängden M? Eller ska 4 anses som ett infimum då funktionen går mot 4 då x-1x \rightarrow -1 och vi har att x3-x2-6x>0x^3-x^2-6x>0?

Smutsmunnen 1050
Postad: 1 feb 2022 10:56

Din slutsats om supremumet är korrekt men din motivering lite oklar. Det räcker inte att säga att funktionen är växande för alla x>3.

Din diskussion om infimum får mig att tro att du kanske missuppfattat lite. När vi söker infimum och supremum söker vi största största och minsta värden på x, inte största och minsta värden på x^3-x^2-6x.

PATENTERAMERA 5981
Postad: 1 feb 2022 11:16 Redigerad: 1 feb 2022 12:01

Notera att M = (-2, 0)(3, ).

Vidare så gäller det att infAB = inf{infA, infB}.

lund 529
Postad: 1 feb 2022 16:14 Redigerad: 1 feb 2022 16:22
Smutsmunnen skrev:

Din slutsats om supremumet är korrekt men din motivering lite oklar. Det räcker inte att säga att funktionen är växande för alla x>3.

Din diskussion om infimum får mig att tro att du kanske missuppfattat lite. När vi söker infimum och supremum söker vi största största och minsta värden på x, inte största och minsta värden på x^3-x^2-6x.

Hej, tack för svar! Skulle du kunna utveckla vad du menar med att När vi söker infimum och supremum söker vi största största och minsta värden på x, inte största och minsta värden på x^3-x^2-6x? För till exempel för funktion nsin(1n)nsin(\frac{1}{n}) på intervallet [1,\infty] så är infimum = sin(1) och supremum = 1 och detta är väl värden för funktionen och inte för x?

Med andra ord, i detta fall är det väl x3-x2-6xx^3-x^2-6x som ger oss de x-värden som finns i mängden?

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 1 feb 2022 16:34

lund, kan du beskriva med ord vilka element som ingår i mängden M?

Tomten 1835
Postad: 1 feb 2022 16:50

Du undrar lite kring supremum och maximum. En mängd M som är uppåt begränsad har enligt supremumaxiomet en minsta övre begränsning. Denna kallas supremum av M och förkortas sup M. Sup M kan tillhöra M, men behöver inte göra det. Ex.: Låt M = mängden av x sådana att 0<x<1. Här är x=2 EN ÖVRE BEGRÄNSNING till M, men inte den minsta. Den minsta övre begränsningen är sup M= =1, men 1 tillhör inte M. Till skillnad från sup M  måste ett maximum även kallat maximalt element i M alltid tillhöra M. I detta fall har M inget maximalt element, men eftersom M är begränsad uppåt har den ett supremum.

lund 529
Postad: 1 feb 2022 17:33
Smaragdalena skrev:

lund, kan du beskriva med ord vilka element som ingår i mängden M?

De element som ingår i mängden M är de som för reella x ges utav x3-x2-6xx^3-x^2-6x och som är större än noll. Dessa blir {4,24,70,...}\{4,24,70,...\} blandannat och fortsätter mot oändligheten.

Smutsmunnen 1050
Postad: 1 feb 2022 17:47
lund skrev:
Smutsmunnen skrev:

Din slutsats om supremumet är korrekt men din motivering lite oklar. Det räcker inte att säga att funktionen är växande för alla x>3.

Din diskussion om infimum får mig att tro att du kanske missuppfattat lite. När vi söker infimum och supremum söker vi största största och minsta värden på x, inte största och minsta värden på x^3-x^2-6x.

Hej, tack för svar! Skulle du kunna utveckla vad du menar med att När vi söker infimum och supremum söker vi största största och minsta värden på x, inte största och minsta värden på x^3-x^2-6x? För till exempel för funktion nsin(1n)nsin(\frac{1}{n}) på intervallet [1,\infty] så är infimum = sin(1) och supremum = 1 och detta är väl värden för funktionen och inte för x?

Med andra ord, i detta fall är det väl x3-x2-6xx^3-x^2-6x som ger oss de x-värden som finns i mängden?

Notationen 

M={xR:x3-x2-6x>0}

kallas set-builder notation. Det ska tolkas som "den delmängd av R för vilka villkoret efter kolonet gäller". 

Du kan om du vill läsa om set-builder notation här om du vill:

https://en.wikipedia.org/wiki/Set-builder_notation

Kontentan är i vart fall att det inte är funktionen efter kolonet vars inf/sup vi söker utan alltså "inf/sup bland de reella som x som uppfyller olikheten efter kolonet"-

lund 529
Postad: 1 feb 2022 22:55 Redigerad: 1 feb 2022 22:58
Smutsmunnen skrev:
lund skrev:
Smutsmunnen skrev:

Din slutsats om supremumet är korrekt men din motivering lite oklar. Det räcker inte att säga att funktionen är växande för alla x>3.

Din diskussion om infimum får mig att tro att du kanske missuppfattat lite. När vi söker infimum och supremum söker vi största största och minsta värden på x, inte största och minsta värden på x^3-x^2-6x.

Hej, tack för svar! Skulle du kunna utveckla vad du menar med att När vi söker infimum och supremum söker vi största största och minsta värden på x, inte största och minsta värden på x^3-x^2-6x? För till exempel för funktion nsin(1n)nsin(\frac{1}{n}) på intervallet [1,\infty] så är infimum = sin(1) och supremum = 1 och detta är väl värden för funktionen och inte för x?

Med andra ord, i detta fall är det väl x3-x2-6xx^3-x^2-6x som ger oss de x-värden som finns i mängden?

Notationen 

M={xR:x3-x2-6x>0}

kallas set-builder notation. Det ska tolkas som "den delmängd av R för vilka villkoret efter kolonet gäller". 

Du kan om du vill läsa om set-builder notation här om du vill:

https://en.wikipedia.org/wiki/Set-builder_notation

Kontentan är i vart fall att det inte är funktionen efter kolonet vars inf/sup vi söker utan alltså "inf/sup bland de reella som x som uppfyller olikheten efter kolonet"-

Stort tack! I detta fall bör infM=-2infM=-2x3-x2-6x=x(x+2)(x-3)x^3-x^2-6x=x(x+2)(x-3), och denna lika med noll får vi det minsta värdet på x som -2, om jag förstår det rätt nu. 

Men hur bör man då istället motivera att supM=supM=\infty, kan man säga att då olikheten gäller för alla x som är större än 3 så kommer supremum, det vill säga det största möjliga värdet för x, att vara oändligheten?

Smutsmunnen 1050
Postad: 2 feb 2022 07:14 Redigerad: 2 feb 2022 07:15

Ja precis, "olikheten gäller för alla x i (3,) så sup är ."

lund 529
Postad: 2 feb 2022 12:44

Tack så mycket för din hjälp! Då har jag verkligen förstått detta.

sofie123 1
Postad: 3 feb 2022 14:27

Blir inte inf M = 3 eftersom infinumet är den största minoranten i mängden?

Smutsmunnen 1050
Postad: 3 feb 2022 15:23 Redigerad: 3 feb 2022 15:23
sofie123 skrev:

Blir inte inf M = 3 eftersom infinumet är den största minoranten i mängden?

Nä inf M blir inte 3 eftersom 3 inte är en minorant till mängden. Exvis hör -1 till mängden. Se Patenterameras inlägg i tråden.

Svara
Close