Industri med förorenat vatten

En industri har en damm med förorenat vatten på sitt område. Varje månad antas 25% av föroreningarna försvinna på grund av rening, men samtidigt tillförs ungefär 12 kg föroreningar varje dag.

Hur snabbt mängden föroreningar ändras kan beskrivas med följande differentialekvation.

$\frac{d y}{d t} = 360 - 0.25 y$ ,där y(t) är mängden föroreningar (i kg) som finns i dammen.

a) Visa att $y (t) = C e^{- 0.25 t} + 1440$ är en lösning till ekvationen.

b) Förklara tydligt innebörden av konstanterna -0.25 och 360 i differentialekvationen.

c) Analysera vad som händer med mängden föroreningar i dammen, om det från början var mindre än, lika med alternativt mer än 1440 kg föroreningar i dammen.

Hej!

a) och b) har jag svarat rätt enligt facit men svaret i facit för c-delen stämmer inte med mitt!

Kan någon förklara sista delen? Tack på förhand!

Vad har du kommit fram till på c-delen? Vad säger facit?

Nej, vi kommer inte att göra dina uppgifter åt dig. Meningen med Pluggakuten är att du skall få den hjälp du behöver för att kunna lösa dina uppgifter själv, inte att någon annan skall servera dig färdiga lösningar på dina problem.

Smaragdalena skrev:
Vad har du kommit fram till på c-delen? Vad säger facit?
Nej, vi kommer inte att göra dina uppgifter åt dig. Meningen med Pluggakuten är att du skall få den hjälp du behöver för att kunna lösa dina uppgifter själv, inte att någon annan skall servera dig färdiga lösningar på dina problem.

Har löst den själv så här:

Om den ursprungliga mängden är mindre än 1440 kg då måste C vara negativt eftersom när t=0 då ska y(0)<1440, d.v.s.

$y (0) = C e^{- 0.25 (0)} + 1440 < 1440 C < 0$

T.ex. om C=-1 då $y (t) = - e^{- 0.25 t} + 1440 o c h y' (t) = 0.25 e^{- 0.25 t}$

,vilket innebär att mängden föroreningar ökar med 25%.

Om den ursprungliga mängden är lika med 1440 kg då måste C vara noll eftersom när t=0 då ska y(0)=1440, d.v.s.

$y (0) = C e^{- 0.25 (0)} + 1440 = 1440 C = 0$

Då y(t)=1440 och y'(t)=0 , vilket betyder att mängden föroreningar håller sig konstant.

Om den ursprungliga mängden är större än 1440 kg då måste C vara positivt eftersom när t=0 då ska y(0)>1440, d.v.s.

$y (0) = C e^{- 0.25 (0)} + 1440 > 1440 C > 0$

T.ex. om C=1 då $y (t) = e^{- 0.25 t} + 1440 o c h y' (t) = - 0.25 e^{- 0.25 t}$

,vilket innebär att mängden föroreningar minskar med 25%.

I facit står "Oavsett startmängden kommer mängden föroreningar vara 1440 kg över tiden"

Om du tar tex det som du kom fram till:

$y (t) = - e^{- 0.25 t} + 1440$

och sätter in ett mycket stort t, vad blir då y(t)?
Likadant med de andra ...

Det du kom fram till stämmer (nog, jag har inte kollat) och frågan är inte övertydlig. Men de menar alltså, vad händer efter en lång tid.

joculator skrev:
Om du tar tex det som du kom fram till:
$y (t) = - e^{- 0.25 t} + 1440$
och sätter in ett mycket stort t, vad blir då y(t)?
Likadant med de andra ...

Det du kom fram till stämmer (nog, jag har inte kollat) och frågan är inte övertydlig. Men de menar alltså, vad händer efter en lång tid.

Just det!... Det här hade jag inte koll på. Ja mängden blir ändå 1440 kg oavsett hur stor startmängden är. Tack!

Svara

Visa senaste svar