Induktionssteget i denna uppgift

(Jag antar att N = 5)

Jag förstår inte riktigt hur du har gjort när du använder ditt antagande? Jag skulle gjort såhär:

$2^{p+1}>4(p+1) \iff 2^{p+1}-4(p+1)>0$

$2·2^p-4p-4>0 \iff 2^p+2^p-4p-4>0$

Nu använder vi antagandet att $2^p-4p>0$. Vi kan då subtrahera detta antagande och få:

$2^p-4>0 \iff 2^p>4$

Vilket är sant för alla $p\ge 5$, enligt antagandet (egentligen är det sant för alla $p\ge 3$, men det spelar ingen roll).

Hur menar du när du säger att man subtraherar antagandet? 

Eftersom vi vet att VL > HL, kan vi subtrahera ${\mathrm{VL}}_{\mathrm{antagande}}$ från ${\mathrm{VL}}_{\mathrm{induktionssteg}}$ (och detsamma för HL) utan att ändra storleksförhållandet. :)

Så man tar bort $2^{p }- 4p$ på både VL och HL? Isåfall borde man inte få -4p vid HL?

Nej, du subtraherar antagandet ledvis. Resultatet blir att du subtraherar $2^p-4p$ från vänsterled och noll från högerled. Ungefär som du kan subtrahera en ekvation från en annan när du använder additionsmetoden.

Så vi har: $2^{p }+ 2^{p }- 4p - 4 > 0$ 

Nu använder man antagandet att $2^p - 4 > 0$. 

Och man subtraherar:  

$2^{p }+ 2^p - 4p - 4 - (2^p - 4) > 0 - (2^p - 4)\hspace{0.17em}$

Nej, det hjälper inte. Om du har ekvationssystemet:

$\left\{\begin{array}{l}4x+3y=5\\ 3x+3y=8\end{array}\right.$

Kan du subtrahera ekvation två från ekvation ett:

$(4x+3y)-(3x+3y)=5-8$

$x=-3$

På samma sätt kan du göra här:

$2^p+2^p-4p-4-(2^p-4p)>0-0$

$2^p-4>0$

Men varför är det lika med noll på HL? dvs varför blir $2^p - 4p$ noll på HL?

Eftersom vi antagit att $2^p>4p \iff 2^p-4p>0$.

Men om 

$2^{p }- 4p > 0$ 

och vi subtraherar det från noll borde inte det bli negativt då? 

Vi subtraherar inte det från noll, vi subtraherar VL från vänsterledet i vårt induktionssteg, och nollan från högerledet i vårt induktionssteg. Det går bra, eftersom vi redan antagit att $2^p-4p>0$. Det innebär att $2·2^p-4p-4$ garanterat är större än noll, och vi kan subtrahera antagandet utan att förändra olikhetens "riktning".

Okejokej, jag förstår. Sen är det bara att testa för p större än eller lika med 5 och se att det stämmer. 

Precis!

Tack för hjälpen! :)

Varsågod!