Induktionsbevis: Två summatecken

Uppgiften är att bevisa följande med hjälp av induktionsbevis:

$\sum_{k = 1}^{2 n} \frac{{(- 1)}^{k + 1}}{k} = \sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{k}$ (där $ℕ = {1, 2, 3, . . .}$ )

Jag har gjort basfallet $n = 1$ och visat att den är sann samt gjort induktionsantagandet $\sum_{k = 1}^{2 m} \frac{{(- 1)}^{k + 1}}{k} = \sum_{k = m + 1}^{2 m} \frac{1}{k}$ för något $m \in ℕ$

Men jag har problemet med induktionssteget: $\sum_{k = 1}^{2 (m + 1)} \frac{{(- 1)}^{k + 1}}{k} = \sum_{k = m + 2}^{2 (m + 1)} \frac{1}{k}$

Jag gjorde följande: $\sum_{k = 1}^{2 m + 2} \frac{{(- 1)}^{k + 1}}{k} = \sum_{k = 1}^{2 m} \frac{{(- 1)}^{k + 1}}{k} + \frac{{(- 1)}^{2 m + 2}}{2 m + 1} + \frac{{(- 1)}^{2 m + 3}}{2 m + 2} = \sum_{k = m + 1}^{2 m} \frac{1}{k} + \frac{{(- 1)}^{2 m + 2}}{2 m + 1} + \frac{{(- 1)}^{2 m + 3}}{2 m + 2}$

Men jag vet inte hur jag ska fortsätta vidare. Hade någon kunnat vara snäll och ge lite tips?

Lösningen verkar vara enkelt härifrån:

(-1)^2m+2 = 1

(-1)^2m+3 = -1

Så blir
$\sum_{k = m + 1}^{2 m} \frac{1}{k} + \frac{1}{2 m + 1} - \frac{1}{2 m + 2} = \sum_{k = m + 1}^{2 m + 1} \frac{1}{k} - \frac{1}{2 m + 2}$

Men $\frac{1}{2 m + 2}$ är just hälften av $\frac{1}{m + 1}$ .

Kan du fortsätta?

Macilaci skrev:
Lösningen verkar vara enkelt härifrån:

(-1)^2m+2 = 1

(-1)^2m+3 = -1

Så blir
$\sum_{k = m + 1}^{2 m} \frac{1}{k} + \frac{1}{2 m + 1} - \frac{1}{2 m + 2} = \sum_{k = m + 1}^{2 m + 1} \frac{1}{k} - \frac{1}{2 m + 2}$

Men $\frac{1}{2 m + 2}$ är just hälften av $\frac{1}{m + 1}$ .

Kan du fortsätta?

Jag förstår det mesta förutom det sista, vad ger det för följd att $\frac{1}{2 m + 2} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{m + 1}$ ?

Vår sista summa börjar med k=m+1 och vi vill att det ska börja med k=m+2.

Så vi vill ta bort (eller ta ut) $\frac{1}{m + 1}$ från summan.

$\sum_{k = m + 1}^{2 m + 1} \frac{1}{k} - \frac{1}{2 m + 2} = \sum_{k = m + 2}^{2 m + 1} \frac{1}{k} + \frac{1}{m + 1} - \frac{1}{2 m + 2} = \sum_{k = m + 2}^{2 m + 1} \frac{1}{k} + \frac{1}{2 m + 2}$

Då förstår jag. Tack så mycket för hjälpen!

Svara

Visa senaste svar