Induktionsbevis (talföljd)

Uppgift:

Mina funderingar:

Första steget är att kontrollera basfallet, men i lösningen till denna uppgift så kontrollerar man två basfall (n = 0, 1). Kan man ha som regel att alltid kontrollera mer än ett basfall, eller finns det någon anledning varför man inte enbart kontrollerar n = 0?

Steg två är induktionsantagandet, och denna biten tycker jag är lite lurig. Börjar tänka på dominobrickor som faller och vill använda induktionsantagandet att om påståendet $b_{n} = (2 n + 1) \times 3^{n}$ gäller för talet n = k, så måste det även gälla för n = k+1. Är detta ett antagande som fungerar, eller är detta bättre när man har med summor att göra? I facit står det: “/.../ Induktionssteget: Låt P(n) vara påståendet att $b_{n} = (2 n + 1) \times 3^{n}$ . Vi behöver visa att (P(n) ∧ P(n + 1)) ⇒ P(n + 2), för godtyckligt n ≥ 0. Är nyligen citerat antagande likadant som det jag först beskrev, fast uttryckt i andra ord? För det man säger är väl att om påståendet gäller för ett tal n OCH n+1, så kommer det även gälla för ännu större tal som n+2?

Tråden flyttas från matematik/bevis till matematik/högskola, eftersom forumdelen Bevis är till för färdiga bevis och inte sådana man behöver hjälp med. /Smaragdalena, moderator

Hej!

Den linjära rekurrensekvationens karakteristiska polynom $r^2-6r+9$ har dubbelroten $r=3.$ Det betyder att talföljden kan skrivas $b_n = (An+B)\cdot 3^n$ där konstanterna $A$ och $B$ bestäms av begynnelsevärdena $b_0$ och $b_1.$

Albiki

Albiki skrev :
Hej!
Den linjära rekurrensekvationens karakteristiska polynom $r^2-6r+9$ har dubbelroten $r=3.$ Det betyder att talföljden kan skrivas $b_n = (An+B)\cdot 3^n$ där konstanterna $A$ och $B$ bestäms av begynnelsevärdena $b_0$ och $b_1.$
Albiki

Rekurrensekvationens karakteristiska polynom är väl ett område
inom linjär algebra? Jag glömde nämna att jag läser Diskret Matematik just nu.
Försökte google men blev inte så klok. Varför är vi intresserade av rekurrensekvationens
karakteristiska polynom och hur fick du fram polynomet?

Det är inte riktigt specifikt för linjär algebra. Man kan använda det karakteristiska polynomet för att beräkna en sluten formel för följden.

Det du ska göra är att anta att det gäller för $n = k$ och $n = k + 1$ sedan ska du visa att det då även gäller för $n = k + 2$ . Så du utgår då från

$b_{k + 2} = 6b_{k+1}-9b_k$

och nu använder du induktionsantagandet och visar att det leder till att det även stämmer för $n = k + 2$ .

Att du behöver två stycken basfall följer av att du måste anta att det är sant för både $n = k$ och $n = k + 1$ , så för att få "induktionen i rullning" så måste du alla visa det explicit för två fall.

Svara

Visa senaste svar