Induktionsbevis: summa

4ⁿ+5ⁿ är en summa, men du behöver inget summatecken för att representera det.

Som jag uppfattar uppgiften så ska du visa att 4ⁿ⁺¹+5ⁿ⁺¹ är delbart med 9 om 4^k+5^k är delbart med 9 för alla k från 1 till n.

Tillägg: 17 feb 2024 19:41

Fast det är ju inte sant, så det kan inte vara det vi ska bevisa.

Har du en bild på uppgiften?

Men för att det ska vara ett udda positivt heltal måste man inte sätta in 2n-1 i n?

Aha, det stod ju udda, jag missade det.

Jo, eller helst en annan bokstav så man inte blandar ihop saker: n = 2k+1.

Yes men då blir problemet i induktionssteget. I vanliga fall brukar jag kunna lösa ut en term i antagandet och sen sätta in det i induktionssteget. Men nu fastnar jag där, är jag på rätt väg? Eller ska jag göra på något annat sätt?

Hur ser ditt försök ut nu?

Laguna skrev:

Hur ser ditt försök ut nu?

Det är som ovan, jag kommer inte vidare😭

Jag gjorde ett försök med en annan metod. Osäker på om man ska/behöver använda summa-tecknet i denna uppgift då det handlar om individuella tal och inte en talföljd.

Så här gjorde jag, är inte 100 på om det är rätt, eller hur jag går vidare...
(borde stå längst upp "9 delar 4^n + 5^n för alla udda heltal n") 
Edit - det ska stå p+1 överrallt där det står p+2
 

Elias Sk skrev:

Jag gjorde ett försök med en annan metod. Osäker på om man ska/behöver använda summa-tecknet i denna uppgift då det handlar om individuella tal och inte en talföljd.

Så här gjorde jag, är inte 100 på om det är rätt, eller hur jag går vidare...
(borde stå längst upp "9 delar 4^n + 5^n för alla udda heltal n")
 

I induktionssteget står det att vi visar för n=p+1 men i raden under har vi lagt in p+2, varför är det så?

Heocon skrev:

Elias Sk skrev: ...

I induktionssteget står det att vi visar för n=p+1 men i raden under har vi lagt in p+2, varför är det så?

Oj det blev fel. Men jag tänker att det måste väll vara så då vi bara ska ha udda tal som exponent, då måste vi lägga till 2 för att det inte ska bli jämt, så egentligen ska det stå "... för n=p+2". Jag vet inte om man får göra så i ind.steget dock. Har du någon idé på utveckling av det där?

Elias Sk skrev:

Heocon skrev:

Visa föregående citat

Elias Sk skrev: ...

I induktionssteget står det att vi visar för n=p+1 men i raden under har vi lagt in p+2, varför är det så?

Oj det blev fel. Men jag tänker att det måste väll vara så då vi bara ska ha udda tal som exponent, då måste vi lägga till 2 för att det inte ska bli jämt, så egentligen ska det stå "... för n=p+2". Jag vet inte om man får göra så i ind.steget dock. Har du någon idé på utveckling av det där?

Det är där jag kör fast, för när jag tog fram formeln för udda positiva heltal så fick jag

Så då borde n kunna vara n=x+1 i induktionssteget, men kommer inte vidare härifrån🥹🥹

Ahh jepp det är ju rätt, borde stå p+1 och inte p+2!

Det blir kanske enklare om man mellanlandar i $k$, låt

$n=2k-1$

Då blir uttrycket $4^{2k-1}+5^{2k-1}$

Och det ska vara delbart med $\cancel{3}$ 9  för alla positiva heltal $k$ . Basfallet är redan bevisat

Antag nu på samma sätt ni brukar göra att $k=p$ är sant, dvs $4^{2p-1}+5^{2p-1}$ är delbart med 3. Vad gäller då för $k=p+1$?

$4^{2(p+1)-1}+5^{2(p+1)-1}=\dots$

Ledtråd

Tillägg: 18 feb 2024 19:04

Ska vara delbart med 9, inte 3.

D4NIEL skrev:

Det blir kanske enklare om man mellanlandar i $k$, låt

$n=2k-1$

Då blir uttrycket $4^{2k-1}+5^{2k-1}$

Och det ska vara delbart med 3 för alla positiva heltal $k$ . Basfallet är redan bevisat

Antag nu på samma sätt ni brukar göra att $k=p$ är sant, dvs $4^{2p-1}+5^{2p-1}$ är delbart med 3. Vad gäller då för $k=p+1$?

$4^{2(p+1)-1}+5^{2(p+1)-1}=\dots$

Ledtråd

Visa spoiler

$4^{2(p+1)-1}=4^{2p+1}=16\cdot 4^{2p-1}$

Hänger inte med på hur 4^2p+1 blir 16 × 4^2p-1 annars förstår jag hur jag ska lösa resten😅

Är du med på att $4^3=4\cdot 4 \cdot 4=4\cdot 4^2=4^2\cdot 4$?

Man löser alltså bara ut två fyror.

D4NIEL skrev:

Är du med på att $4^3=4\cdot 4 \cdot 4=4\cdot 4^2=4^2\cdot 4$?

Man löser alltså bara ut två fyror.

Jag Är med på att 2 fyror går åt för 16, men hänger inte med hur den byter tecken och  varför hela 2p-1 är kvar

Jag förstår inte riktigt hur man går vidare från $16\times 4^{p-1}+25\times 5^{p-1}$, hur gör ni?

Du bryter ju ut en 4a i taget, så man kan se det som i denna ordning
$4^{p+1}=4^1\times 4^p=4^2\times 4^{p-1}$

$2(p+1)-1=2p+2-1=2p+1$

Om vi löser ut 2 fyror ska vi dra bort 2 i exponenten, alltså

$2p+1-2=2p-1$

När ni har uttrycket $16\cdot 4^{2p-1}+25\cdot 5^{2p-1}$ kan det vara bra att fundera på om ni kan samla ihop ursprungsuttrycket som antas vara sant på något vis.

Vi vill ju hitta tillbaka på nått sätt till $4^{2p-1}·5^{2p-1}$, ser inte riktigt hur.
Förstår inte riktigt vad du menar med att samla ihop 16.. 

När jag gör så så blir det rätt, men 4^-2 gör att det inte är lika med på båda sidor. Hur tänker man då?

Är det såhär mellanstegen ser ut?

Exakt, du måste ju ha "jämnvikt" i exponenterna hela tiden. Så om du tar bort 1 från en fyras exponent måste du lägga till 1 till en annan fyras exponent

Elias Sk skrev:

Exakt, du måste ju ha "jämnvikt" i exponenterna hela tiden. Så om du tar bort 1 från en fyras exponent måste du lägga till 1 till en annan fyras exponent

Men här, på andra sidan om minustecknet så vill jag få en 9 term så att jag kan faktorerna ut det. Kan jag göra det på något vis? Isf hur?

Elias Sk skrev:Vi vill ju hitta tillbaka på nått sätt till $4^{2p-1}·5^{2p-1}$, ser inte riktigt hur.

Förstår inte riktigt vad du menar med att samla ihop 16.. 

$25\cdot 5^{2p-1}=16\cdot 5^{2p-1}+9\cdot 5^{2p-1}$

$16\left(4^{2p-1}+ 5^{2p-1}\right)$ är ju delbart med $\cancel{3}$ 9 enligt induktionsantaganget... men hur är det med termen som blir kvar?

Tillägg: 18 feb 2024 19:03

Ändrade 3->9, Ska vara delbart med 9, inte med 3.

$25\cdot 5^{2p-1}=16\cdot 5^{2p-1}+9\cdot 5^{2p-1}$

$16\left(4^{2p-1}+ 5^{2p-1}\right)$ är ju delbart med 3 enligt induktionsantaganget... men hur är det med termen som blir kvar?

Ah okej $16·4^{2p-1}+16·5^{2p-1}+9·5^{2p-1}=16(4^{2p-1}+5^{2p-1})+9·5^{2p-1}$, och här är alla termer delbara med 9 givet vårt antagande

Jahaa, det skulle vara delbart med 9, ja. :) Det är samma sak. Fast sista termen är delbar med 9 för att den innehåller en faktor 9, det följer inte från induktionsantagandet...

Haha ja exakt.

Tack så jättemycket för förklaringen Daniel, förtår nu! :D

Men här, på andra sidan om minustecknet så vill jag få en 9 term så att jag kan faktorerna ut det. Kan jag göra det på något vis? Isf hur?

Testa att skriva om den utan att använda summatecknet, det är det som strular till det för dig.

Elias Sk skrev:

Men här, på andra sidan om minustecknet så vill jag få en 9 term så att jag kan faktorerna ut det. Kan jag göra det på något vis? Isf hur?

---

Testa att skriva om den utan att använda summatecknet, det är det som strular till det för dig.

Från vilket steg behöver jag inte ha med summateckenet eller behöver jag inte ha med den alls?

Jag tolkar uppgiften som att "summan" avser exakt två termer. Du ska alltså inte summera från 1 till $n$. De två talen, $4^{n}+5^{n}$, som ska adderas kallas termer och de bildar tillsammans en summa.

Du ska sedan visa att påståendet gäller för alla udda $n$

(Inte för att det spelar någon egentlig roll, eftersom varje delsumma blir delbar med 9 och alltså är den större totalumma jag tror du tänkte beräkna också delbar med 9)

D4NIEL skrev:

Jag tolkar uppgiften som att "summan" avser exakt två termer. Du ska alltså inte summera från 1 till $n$. De två talen, $4^{n}+5^{n}$, som ska adderas kallas termer och de bildar tillsammans en summa.

Du ska sedan visa att påståendet gäller för alla udda $n$

Aha de menar summan av 4^n plus 5^n och inte summan som en talföljd?

Men även om det är en sån summa. När jag har visat att n=p+1 har en 9 term då har jag visat att alla termer kommer att vara delbara med 9, vilket gör att summan är delbar med 9?

Vad jag förstår det som så använder man summa-tecknet när man vill visa att ett uttryck som räknar ut summan av en sepcifik längd av en talföljd är sant. Ex $\sum _{k=1}^n(2k-1) = n^2$ som räknar ut summan av någon längd av talföljden $\mathrm{ℝ}$.
I din uppgift används därför inte summa-tecknet, då det inte är en talföljd vi ska räkna summan på.

Förstår du hur jag menar?

Elias Sk skrev:

Vad jag förstår det som så använder man summa-tecknet när man vill visa att ett uttryck som räknar ut summan av en sepcifik längd av en talföljd är sant. Ex $\sum _{k=1}^n(2k-1) = n^2$ som räknar ut summan av någon längd av talföljden $\mathrm{ℝ}$.
I din uppgift används därför inte summa-tecknet, då det inte är en talföljd vi ska räkna summan på.

Förstår du hur jag menar?

Aha, okej. Tack så hemskt mycket för hjälpen🙏🏻 Ni är bäst