Induktionsbevis - olikheter

Du skriver först VL(p+1) - HL(p+1) men sedan sätter du in så det blir HL-VL  - det blir väldigt rörigt på det sättet. Skall det bli större eller mindre än 0 för att bevisa ditt påstående?

Om något är > 0 så är det automatiskt större än eller lika med (men motsatsen gäller ionte - det är inte säkert att något är större än bara för att det är större-än-eller-lke-med, det kan u vara likamed).

Jag skulle behålla $p^2$ och ta bort $2^p$ istället - är det så facit gör?

smaragdalena skrev :

Du skriver först VL(p+1) - HL(p+1) men sedan sätter du in så det blir HL-VL  - det blir väldigt rörigt på det sättet. Skall det bli större eller mindre än 0 för att bevisa ditt påstående?

Om något är > 0 så är det automatiskt större än eller lika med (men motsatsen gäller ionte - det är inte säkert att något är större än bara för att det är större-än-eller-lke-med, det kan u vara likamed).

Jag skulle behålla $p^2$ och ta bort $2^p$ istället - är det så facit gör?

Tack för svar! Sorry ser att jag blandat ihop! Jag "bevisar" helt enkelt:  HL(p+1) - VL(p+1) >= 0 och inte VL(p+1) - HL(p+1). Beviset går ut på att man ska visa att $n^2$$\le$ $2^n$ gäller för n = 4,5, 6,.....Du nämnde: "Om något är > 0 så är det automatiskt större än eller lika med.." - Då måste det väl betyda att mitt bevis är riktigt? :D eller? Facit gör det på ett lite mer annorlunda sätt och utnyttjar att: $2^p-p^2\ge 0$

Ditt bevis har inte rätt form för att vara ett induktionsbevis. Det borde gå att visa på ditt sätt lika gärna som man gör i facit.

Så det skall vara HL - VL >= 0 hela vägen?

Alldeles efter induktionsatagandet hoppar du tillbaka, och sedan använder du induktionsantagandet igen - varför?

Sedan gör du en konstig sak och byter ut p mot 4 utan vidare motivering - underligt.

Nej, det här beviset känns inte vattentätt.

smaragdalena skrev :

Ditt bevis har inte rätt form för att vara ett induktionsbevis. Det borde gå att visa på ditt sätt lika gärna som man gör i facit.

Så det skall vara HL - VL >= 0 hela vägen?

Alldeles efter induktionsatagandet hoppar du tillbaka, och sedan använder du induktionsantagandet igen - varför?

Sedan gör du en konstig sak och byter ut p mot 4 utan vidare motivering - underligt.

Nej, det här beviset känns inte vattentätt.

Såhär tänkte jag:

Denna lösning borde väl vara korrekt? :/ 

Nej. Du verkar ha ersatt $2^p$ med $p^2$ rakt av i raden över induktionsantagndet. Detta kan du inte göra eftersom det är en olikhet, där likhet endast gäller för $p=4$. Sen så vet jag inte vad du gjort när du kvadratkompletterar. Det ser ut som att du rakt av ersätter $p$ med $4$. Vilket du inte kan göra. Inte nog med att beviset inte är vattentätt, men det är inte ens ett bevis i aktuellt skick.

TIPS: Bevisa föst olikheten $2^n\ge 2n+1$ och använd resultatet av detta delbevis för att bevisa din huvud uppgift.

Lirim.K skrev :

Nej. Du verkar ha ersatt $2^p$ med $p^2$ rakt av i raden över induktionsantagndet. Detta kan du inte göra eftersom det är en olikhet, där likhet endast gäller för $p=4$. Sen så vet jag inte vad du gjort när du kvadratkompletterar. Det ser ut som att du rakt av ersätter $p$ med $4$. Vilket du inte kan göra. Inte nog med att beviset inte är vattentät, men det är inte ens ett bevis i aktuellt skick.

TIPS: Bevisa föst olikheten $2^n\ge 2n+1$ och använd resultatet av detta delbevis för att bevisa din huvud uppgift.

Tack för svar! Jag får pröva på nytt i så fall. Jag har inte riktigt helt förstått vad jag gör för fel - vill bara få det helt klart för mig (sorry om jag är jobbig) innan jag fortsätter..

Högst upp har jag råkat skriva visa $n^2\le 2^p men det ska ju vara n^2\le 2^n.$Induktionssteget: Såvitt jag jag vet så kan man lägga till termer så länge dessa tar ut varandra. Jag utnyttjar just att lägga till termerna +2-2 (vilket ju är noll --> tillåtet) och skriver sedan om uttrycket som en kvadrat - med tanke på att en kvadrat alltid är större än eller lika med noll. Eftersom $P\ge 4$ så tänker jag att det måste betyda att $(p-2{)}^2-2 \ge (4-2{)}^2-2 = 7$$>0$.. P kunde ju vara större än eller lika med 4. Då tänker jag att det måste betyda att isåfall är $(p-2{)}^2 \ge (4-2{)}^2$ .. Eller är det kanske här du och smaragdalena menar att jag gör fel? Hade mitt resonemang varit korrekt om p $>4$?  Förstår inte riktigt varför jag inte kan lägga till termen 4 när jag utför mitt "bevis".. :/

Jag skriver att $2 *\hspace{0.17em}{2}^p-p^2-2p-1 \ge p^2- 2p -1+2-2$(då tänker jag att detta måste gälla eftersom $p^2\le 2^p$. Om jag nu inte kan göra såhär så måste väl det betyda att det är rätt om jag skriver: $2 *\hspace{0.17em}{2}^p-p^2-2p-1 > p^2- 2p -1+2-2$?     

Hej Hinzz0!

Du vill visa att olikheten $n^2\leq 2^n$ är sann för alla heltal $n\geq 4.$ Ett induktionsbevis av detta består av fyra steg.

Steg 1. Visa att olikheten är sann för $n=4.$

Steg 2. Anta att olikheten är sann för något $n=p.$

Steg 3. Visa att olikheten är sann för nästa heltal, $n=p+1.$

Steg 4. Enligt Induktionsaxiomet är olikheten sann för alla heltal $$n\geq 4.

Det är vid Steg 3. som du måste vara kreativ. Tänk på vad du vet (från Steg 2.) och använd det på ett smart sätt för att nå ditt mål (Steg 3.).

Albiki

Hej Hiinz0!

Steg 3: Du vill visa att $(p+1)^2\leq 2^{p+1}$ under förutsättning att $p^2\leq 2^p.$ 

Eftersom $p^2\leq 2^p$ så följer det att $2p^2 \leq 2^{p+1}.$ Om du kan visa att $(p+1)^2\leq 2p^2$ så är du klar med Steg 3 av Induktionsbeviset. 

Att visa olikheten $(p+1)^2\leq 2p^2$ är samma sak som att visa olikheten $2p + 1 \leq p^2;$ kom ihåg att denna olikhet gäller för tal $p$ som är större än $4.$ 

För att visa olikheten $p^2 -2p -1 \geq 0$ kan du använda Kvadratkomplettering. 

Albiki

Albiki skrev :

Hej Hinzz0!

Du vill visa att olikheten $n^2\leq 2^n$ är sann för alla heltal $n\geq 4.$ Ett induktionsbevis av detta består av fyra steg.

Steg 1. Visa att olikheten är sann för $n=4.$

Steg 2. Anta att olikheten är sann för något $n=p.$

Steg 3. Visa att olikheten är sann för nästa heltal, $n=p+1.$

Steg 4. Enligt Induktionsaxiomet är olikheten sann för alla heltal $$n\geq 4.

Det är vid Steg 3. som du måste vara kreativ. Tänk på vad du vet (från Steg 2.) och använd det på ett smart sätt för att nå ditt mål (Steg 3.).

Albiki

Testade med att ta bort 2^p istället och gjorde såhär:

Albiki skrev :

Hej Hiinz0!

Steg 3: Du vill visa att $(p+1)^2\leq 2^{p+1}$ under förutsättning att $p^2\leq 2^p.$ 

Eftersom $p^2\leq 2^p$ så följer det att $2p^2 \leq 2^{p+1}.$ Om du kan visa att $(p+1)^2\leq 2p^2$ så är du klar med Steg 3 av Induktionsbeviset. 

Att visa olikheten $(p+1)^2\leq 2p^2$ är samma sak som att visa olikheten $2p + 1 \leq p^2;$ kom ihåg att denna olikhet gäller för tal $p$ som är större än $4.$ 

För att visa olikheten $p^2 -2p -1 \geq 0$ kan du använda Kvadratkomplettering. 

Albiki

Missade ditt andra inlägg! Ska pröva den metoden! Tack för svar Albiki! :)

Hej!

Du behöver förklara varför olikheten $2^p - 2p - 1 > 0$ är sann då $p>4$.

Albiki 

Hej!

De fyra stegen i ett Induktionsbevis som jag skrivit upp är inget som jag hittat på. Om du vill skapa ett korrekt induktionsbevis så måste samtliga steg ingå (även det sista som åberopar Induktionsaxiomet).

Om du bara vill lattja litet så kan du göra som du vill, förstås. 

Albiki

Albiki skrev :

Hej!

De fyra stegen i ett Induktionsbevis som jag skrivit upp är inget som jag hittat på. Om du vill skapa ett korrekt induktionsbevis så måste samtliga steg ingå (även det sista som åberopar Induktionsaxiomet).

Om du bara vill lattja litet så kan du göra som du vill, förstås. 

Albiki

Hej igen! 

Blir lite osäker nu..Jag motiverar ju att: $2^p-2p-1>0$ eftersom $p\ge 4$ 

Förklarar jag inte då varför olikheten är sann? Tack för snabba svar - uppskattas!

Hej! 

Du motiverar det inte. Du bara påstår att olikheten gäller eftersom $p>4.$

För att ditt resonemang ska vara en del av ett induktionsbevis måste du visa att om $p>4$ så är $2^p -2p-1>0.$

Albiki

Hej!

För att visa att $2^p - 1 > 2p$ när $p>4$ så kan du prova att studera den geometriska summan $1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{p-1}.$ 

Albiki

Albiki skrev :

Hej!

För att visa att $2^p - 1 > 2p$ när $p>4$ så kan du prova att studera den geometriska summan $1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{p-1}.$ 

Albiki

Men $2^{p }> 2p för alla p>4$ då t.ex. $2^5>2*5$. Kan jag inte göra som jag gjorde från början genom att motivera att  $2^p$−2p−1  $2^4 - 2\hspace{0.17em}* 4-1=7>0 eftersom p>4$ ? Annars vet jag helt ärligt inte hur jag ska göra..

Nej. Du skall visa att OM $2^n > n^2$, så är $2^{p+1} > (p+1)^2$. Du kan utnyttja att 2n > 0, eftersom n är ett positivt heltal.

Jag får nog gå till någon lärare på måndag och kolla upp det..Har en lärobok bredvid mig som löser denna uppgift på nästan exakt samma sätt som jag gjorde på inlägget "såhär tänkte jag:" - undantaget att man då bevisar: $2^n>n^2 för alla n>4$.  

Albiki skrev :

Hej!

För att visa att $2^p - 1 > 2p$ när $p>4$ så kan du prova att studera den geometriska summan $1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{p-1}.$ 

Albiki

Hej!

En alternativ metod är att studera den deriverbara funktionen

    $f(x) = 2^x - 2x$ definierad för $x\geq 4.$

Visa att funktionen är växande och att $f(4) > 1.$ Då följer det att

    Error converting from LaTeX to MathML för alla $p > 4.$

Albiki

Hej!

Då följer det att $2^p -2p \geq f(4) > 1$ för alla $p > 4.$

Albiki

Albiki skrev :

Hej!

Då följer det att $2^p -2p \geq f(4) > 1$ för alla $p > 4.$

Albiki

Tack så jättemycket! Jag tror att jag äntligen börjat förstå vad du menar! Har konstigt nog inte alls tänkt på att man kan utnyttja sig av derivata och så i ett induktionsbevis...Kan jag göra så här i slutsteget (motiveringen);  

Det gäller att om $f\left(p\right)\hspace{0.17em}= 2^p-2p-1$$$\begin{gathered} \Rightarrow f\text{'}\left(p\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}{2}^p-2 \Rightarrow f\text{'}\text{'}\left(p\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}{2}^{p }\iff f\text{'}\text{'}\left(p\right)>0 och f är konvex för alla p. \\ \because 2^p-2p-1>0 för alla p>4. ? \end{gathered}$$ 

Hej!

Nu blev jag nyfiken.

Hur får du att derivatan av funktionen $2^p$ är lika med $2^p$? Och hur kommer konvexitet in i sammanhanget?

Albiki

Albiki skrev :

Hej!

Nu blev jag nyfiken.

Hur får du att derivatan av funktionen $2^p$ är lika med $2^p$? Och hur kommer konvexitet in i sammanhanget?

Albiki

haha wow - jag måste ha varit trött eller något just då...jag vet inte själv vad jag tänkte. Derivatan av 2^p  är ju ln2 * 2^p .....Konvexitet kommer in genom att andra derivatan är positiv då är ju derivatan strängt växande - sen om det var relevant eller inte det kan snackas. Jag tänkte att det förklarar att funktionen är växande med positiva värden.