Induktionsbevis olikhet
Varför kan de byta ut (p+1)^2 till 1+p^2? (då de skriver "enligt antagandet")
Vi antar ju att (p+1)^2 är större än eller lika med 1+p^2. Alltså kan 1+p^2 vara mindre, så hur vet vi då att olikheten fortfarande gäller om vi byter ut det så?
Du antar att olikheten stämmer för n = p.
Du ska sedan visa att om det stämmer för n = p, så kommer det även att stämma för n = p + 1.
Beviset är för mig nästan oläsligt, och jag tror du har rätt i att det är konstigt skrivet. Vi vet ju inte om olikheten gäller, utan det är det vi ska visa. Det verkar som beviset jobbar i båda led samtidigt, vilket inte är speciellt snyggt.
Men om du har något uttryck på formen f(p) + (1 + p)^2, så är det större än eller lika med f(p) + 1 + p^2 under antagandet att (1 + p)^2 >= 1 + p^2.
Ja, precis. Men på sättet de skriver det i lösningen ser det ut som att de antar att (1 + p)^2 = 1 + p^2, och inte >=, vilket inte stämmer, eller?
I beviset skrivet de bara om vänsterledet enligt vad jag skrev i mitt förra inlägg. Det som är konstigt är att de skriver ut olikheten som vi försöker bevisa som om den gäller. Har man en olikhet och gör den större sidan mindre så är det möjligt att olikheten inte längre gäller, som du korrekt påpekar. Det går inte att veta utan ytterligare information. I lösningen visar det sig dock att 4 >= 2 även fast man gjort sidan med 4 "mindre" med induktionsantagandet, så därför visar det sig att olikheten fortfarande stämde i just detta fall.
Men det är bättre att skriva beviset såhär:
(1 + (p + 1))^2
= p^2 + 4p + 4
= 2p + 3 + (p + 1)^2
>= 2p + 3 + 1 + p^2 (enl. induktionsantagandet)
= p^2 + 2p + 4
= 3 + (p + 1)^2
>= 1 + (p + 1)^2,
vilket var det vi ville visa.
Hur får du att
3 + (p + 1)^2
>= 1 + (p + 1)^2
i slutet?
För att 3 >= 1.
Tack så mycket för hjälpen, beviset var mycket enklare att följa nu:)
