Induktionsbevis med olikhet

Hej!

Uppgiften lyder:

$B e v i s a, m e d h j ä l p a v i n d u k t i o n, a t t 2^{n} > n^{2} f ö r n > 4$

Min uträkning ser hittils ut såhär;

$1 . L å t n = 5 \to 2^{5} > 5^{2} \Rightarrow 32 > 25, V L = H L 2 . A n t a a t t n = k s t ä m m e r; 2^{k} > k^{2} 3 . O m n = k s t ä m m e r, m å s t e t a l e t e f t e r, d v s n = k + 1 s t ä m m a; 2^{k + 1} > {(k + 1)}^{2} \Rightarrow 2 \times 2^{k} > {(k + 1)}^{2} \Rightarrow 2 \times k^{2} > {(k + 1)}^{2}$ '

Dock vet jag inte hur jag gör efter. Har försökt förenkla och bryta ut kvadreringen men får aldrig rätt svar...

Hur gör jag?

Bra början!

du ska visa att 2k²>(k+1)² , dvs k²>2k+1

eftersom k>4 så måste kk>4k $\Leftrightarrow$ k²>4k

Men 4k>2k+1 eftersom 2k>1 för alla k>4. Detta betyder att k²>4k>2k+1.

Edit:

Ett alternativ är:

Du ska bevisa att

k²>2k+1 $\Leftrightarrow$

k²-2k-1>0 $\Leftrightarrow$

k²-2k+1>2 $\Leftrightarrow$

(k-1)²>2 vilket är sant för alla k>4.

Tack för din hjälp!

Dock...

du ska visa att 2k²>(k+1)² , dvs k²>2k+1

...så fattar jag inte det här.. Har sett det på ganska många platser men förstår inte riktigt hur 2an förs över till HL på det sättet...

Vart försvann kvadraten och varför är bara tvåan multiplicerad med k?

Hur utvecklar du HL= (k+1)²?

Svara

Visa senaste svar