Induktionsbevis med delbarhet
Hej!
Jag behöver hjälp med denna fråga som jag har fastnat vid. Frågan är att man ska bevisa med induktion att 4n+5n är delbart med 9 om n är ett udda positivt heltal.
Sådär har jag gjort:
1) n=1
41+51= 4+5=9 vilket är delbart med 9
n=3 ( har gjort extra för att vara säker)
43+53=64+125=189
189/9=21 (eftersom man får ett heltal som svar betyder det att talet 189 är delbart med 9)
2) när n=p så antar man att 4p+5p är delbart med 9 om n är ett udda positivt heltal.
3) n=p+1 ger då att 4p+1+5p+1= 4p * 4+5p * 5
Jag vet att jag måste använda mig av induktionsantagandet för att kunna bevisa, men problemet är att jag vet inte hur jag ska fortsätta med omskrivningarna i steg 3 för att göra klart uppgiften. Jag tänker att jag måste få 4p+5p som faktor i steg 3 för att kunna fortsätta men jag vet inte hur.
p+1 kan du inte använda, det är jämnt om p är udda.
Sen vet du att 4^p + 5^p = 9k, för något heltal k (ett sätt att uttrycka delbarheten). Då är också 4^p = 9k - 5^p. Det kan du använda i induktionssteget, istället för att försöka hitta hela summan 4^p + 5^p på en gång.
Om man multiplicerar 4n+5n med 4+5 så får man 4n+1 + 5*4n + 4*5n + 5n+1. Om man multiplicerar med 4+5 en gång till så får man 4n+2 + 4*5*4n + 4*4*5n + 4*5n+1 + 5*4n+1 + 5*5*4n + 5*4*5n + 5n+2.
Varför två gånger? Jo, det står ju att det bara gäller för udda tal, dvs. varannan gång.
Tack för era svar! Kan man använda sig av n=p+2 istället, för i induktions bevis ska steg 3 vara sann för nästa heltal efter p, och i det fallet eftersom p är udda då blir nästa hel udda tal efter p, p+2.
