Induktionsbevis komplex talföljd

Hej!

Jag har kört hopplöst fast på följande uppgift:

Definiera följd {z_n} $\overset{\infty}{n} \overset{}{= 1}$ av punkter i det komplexa talplanet genom att sätta z₁=1 och z_n+1=(4+3i)z_n-1. Bevisa att |z_n| $\geq$ 4^n-1 för alla n $\geq$ 1 .

Jag kan bevisa basfallet z₁=1 då |z₁|=1 $\geq$ 1=4⁰=4^1-1.

Sedan ska jag enligt induktionsprincipen kunna bevisa att z_k_{$\Rightarrow$}z_k+1 för ett godtyckligt positivt heltal och det är här jag kör fast.

Jag vet att z_k=(4+3i)z_k-1-1 och z_k+1=(4+3i)z_k-1 samt gör antagandena |z_k| $\geq$ 4^k-1 och |z_k+1| $\geq$ 4^k.

Jag har en misstanke om att jag behöver använda mig utav triangelolikheten |a+b| $\leq$ |a|+|b| men jag vet inte hur jag ska ta mig vidare med uppgiften och vore väldigt tacksam för tips och råd.

Mvh

Linus

Välkommen till Pluggakuten.

Du kan inte göra antagandet om beloppet för z_k+1, det är det du ska visa.

Ställ upp uttrycket för beloppet av z_k+1, uttryck z_k+1 enligt den rekursiva formeln, flytta över termen (-1) för att sedan kunna tillämpa triangelolikheten. Använd induktionsbeviset och du bör vara i mål.

Testa att använda dessa steg och återkom om du fastnar igen.

Tack för ditt svar!

När jag prövar detta så får jag att

z_k+1=(4+3i)z_k-1 $\Leftrightarrow$ z_k+1+1=(4+3i)z_k

Varpå jag uttrycker olikheten som

|z_k+1+1|=|4z_k+3iz_k| $\geq$ 4^k-1 enligt antagandet |z_k| $\geq$ 4^k^-1 (får jag göra detta antagande?).

Då kan jag använda triangelolikheten och får

|4z_k+3iz_k| $\leq$ |4z_k|+|3iz_k|

Men här kör det ihop sig igen, för då blir ju

|z_k+1+1|=|4z_k+3iz_k| $\leq$ |4z_k|+|3iz_k|

Och jag förstår inte hur jag ska ta mig vidare.

Har jag förstått dig rätt? Eller är jag helt ute och cyklar såhär långt?

Bra början, jag tänker att du kan använda dig av $|z_{k + 1} + 1| = |(4 + 3 i) z_{k}| = |4 + 3 i| |z_{k}|$ och därefter tillämpa induktionshypotesen.

Då får jag att $| z_{k + 1} + 1 | = | 4 + 3 i | | z_{k} |$ $\Leftrightarrow | z_{k + 1} + 1 | = 5 \cdot | z_{k} |$ .

Kan jag nu enligt mitt antagande $| z_{k} | \geq 4^{k - 1}$ byta ut $| z_{k} |$ mot $4^{k - 1}$ och få

$| z_{k + 1} + 1 | \geq 5 \cdot 4^{k - 1}$ ?

Sedan kan jag göra om VL till $| z_{k + 1} | + | 1 |$ eftersom det är $\geq | z_{k + 1} + 1 |$

och HL till $\frac{1}{4} (5 \cdot 4^{k}) = \frac{5 \cdot 4^{k}}{4}$ .

Därefter kan jag subtrahera 1 från båda led och får

$| z_{k + 1} | \geq \frac{5 \cdot 4^{k}}{4} - 1 \Leftrightarrow | z_{k + 1} | \geq \frac{4^{k}}{4}$

Stämmer detta?

Ser rätt ut fram till sista ekvivalensen. Målet är ju att $|z_{k + 1}| \geq 4^{k}$

Vi har $|z_{k + 1}| \geq \frac{5 * 4^{k}}{4} - 1 = 5 * 4^{k - 1} - 1 = 1.25 * 4^{k} - 1 = 4^{k} + 0.25 * 4^{k} - 1 = 4^{k} + 4^{k - 1} - 1 \geq 4^{k}$ för alla $k \geq 2$

Kom ihåg att vi redan har visat att det gäller för k=1 så den sista slutsatsen gäller.

Då är jag med. Stort tack för all din hjälp Calle_K!

Svara

Visa senaste svar