Induktionsbevis av talföljd

 Det händer något efter du utvecklar uttrycket, borde vara:

 $a_{n+1}=3^n-(-1{)}^n-\frac{3^n}{4·3}-\frac{(-1{)}^n}{4}-\frac{6·3^n}{4·3^2}+\frac{6·(-1{)}^n}{4}$

om jag inte sett fel

Hej!

Du ska visa att talföljden

    $\displaystyle 4a_n = 3^n + (-1)^{n+1}\ , \quad n \geq 3$

uppfyller differensekvationen

    $\displaystyle a_n - 4a_{n-1} + a_{n-2} + 6a_{n-3} = 0 \ , \quad n \geq 3.$

Albiki

Hej igen!

Eftersom det är enklare att uttrycka talen 4a_n än talen a_n så multiplicerar du differensekvationen med talet 4. Du ska alltså visa att talföljden

    $(3^{n}+(-1)^{n+1})$

uppfyller differensekvationen

    $4a_n - 16a_{n-1} + 4a_{n-2} + 24a_{n-3} = 0.$

Skriv därför

    $x_{n} = 3^{n} + (-1)^{n+1}$

och visa att

    $x_{n} - 4x_{n-1} + x_{n-2} + 6x_{n-3} = 0.$

Albiki

Hej!

Börja med att notera att $x_n = 3^n + 1$ när $n$ är udda, och att $x_n = 3^n - 1$ när $n$ är jämnt. Det betyder att du kan studera två fall.

Heltalet $n$ är udda. Då är

    $\displaystyle x_n - 4x_{n-1} + x_{n-2} + 6x_{n-3} = (3^n + 1) - 4\cdot (3^{n-1}-1) + (3^{n-2}+1) + 6\cdot (3^{n-3}-1) =$

    $\displaystyle = 3^n + 1 - (3^n - 3 + 3^{n-1} - 1) + 3^{n-2} + 1 + 2\cdot 3^{n-2} - 6 = 6 - 6 - 3^{n-1}+ (1+2)3^{n-2} = 0$,

där jag använt att $4 = 3+1$ och $6 = 2\cdot 3$.

Heltalet $n$ är jämnt. Då är

    $\displaystyle x_n - 4x_{n-1}+x_{n-2}+6x_{n-3} = (3^n - 1) - 4(3^{n-1} + 1) + (3^{n-2} - 1) + 6(3^{n-3} + 1) =$

    $\displaystyle = 3^n - 1 - (3^n + 3 + 3^{n-1} + 1) + 3^{n-2} - 1 + 2(3^{n-2} + 3) = -3^{n-1} + (1+2)3^{n-2} - 6 + 6 = 0.$

Resultat: Oavsett om heltalet $n$ är jämnt eller udda så gäller det att $x_{n} - 4x_{n-1}+x_{n-2}+6x_{n-3} = 0.$

Albiki