Induktionsbevis av binomialkoefficienter

Uppgiften är att bevisa att $(\begin{matrix} n + k - 1 \\ k \end{matrix}) \in ℤ$ för alla $n, k \in ℤ^{+}$ .

Jag har provat att försöka lösa den genom att göra induktionsbevis med avseende på k, men får inte till det. Jag har fått ledtråden att man ska använda Pascals identitet d.v.s. $(\begin{matrix} x \\ t \end{matrix}) = (\begin{matrix} x - 1 \\ t - 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} x - 1 \\ t \end{matrix})$ , men exakt hur är oklart. Sen tänker jag att det nog kan vara enklare att göra beviset på allmäna fallet $(\begin{matrix} m \\ r \end{matrix})$ för om det gäller för den borde det gälla för urprungsfrågan också. Supertacksam för några förslag på vad man ska göra.

Välkommen till Pluggakuten!

Eftersom den aktuella binomialkoefficienten kan förkortas enligt

$\displaystyle\binom{N+k}{k} = \frac{(N+k)!}{k!N!} =\frac{(N+1)\cdots(N+k)}{k!}$

räcker det att visa att $\frac{(N+1)\cdots(N+k)}{k!}$ är ett heltal för varje val av heltal $N$ och $k$ .

Svara