Bevisa uteslutande med induktionsbevis

Utveckla $(p+1)^2+p+1$ och försök skriva det som

$p^2+p+f(p)$
Vilka egenskaper har då "tillskottet" $f(p)$?

Hej,

Påståendet kan också bevisas utan induktion.

Skriv uttrycket som $n\cdot(n+1)$.

• Om $n$ är jämn så är produkten jämn.
• Om $n$ är udda så är $n+1$ jämn och produkten är då jämn.

tomast80 skrev:

Utveckla $(p+1)^2+p+1$ och försök skriva det som

$p^2+p+f(p)$
Vilka egenskaper har då "tillskottet" $f(p)$?

Hej och tack för svaret! 

$$\begin{gathered} {\left(p+1\right)}^2+p+1= p^2+p+f\left(p\right) \\ {p}^2+3p+2=p^2+p+f\left(p\right) \\ f\left(p\right)=2p+2=2(p+1) \end{gathered}$$

Jag kan bara ana att du menar att 2p+2 på något sätt är relaterat till 2k och att då k:ET flyttats till VL på något sätt så vi får 2(k+1) men här hänger jag inte med. Vad är det som driver det resonemanget? Varför ska jag addera med f(p)? Jag förstår liksom inte hur bevisstegen ska sättas upp vad som ska adderas med vad och sättas lika med. Vad är steg 1 i induktionssteget (alltså när man ska bevisa)? Ska jag överhuvudtaget skriva om HL till något eller ska jag behålla variabeln k i 2k där? 

Albiki skrev:

Hej,

Påståendet kan också bevisas utan induktion.

Skriv uttrycket som $n\cdot(n+1)$.

• Om $n$ är jämn så är produkten jämn.
• Om $n$ är udda så är $n+1$ jämn och produkten är då jämn.

Tack för svar! 

Ja men det är just induktionsbevis som jag övar på i kapitlet. Inga andra bevismetoder är tillåtna!

Jag korrigerar det i inlägget.

Du får att

$(p+1)^2+p+1=p^2+p+2(p+1)=$
$2k+2(p+1)=2(k+p+1)$
Vad kan du säga om detta tal?

$p^2+p$ är jämnt, och f(p) är jämnt. Deras summa är alltså ockaå jämn. Det är inte viktigt att bestämma ett uttryck för k. 

tomast80 skrev:

Du får att

$(p+1)^2+p+1=p^2+p+2(p+1)=$
$2k+2(p+1)=2(k+p+1)$
Vad kan du säga om detta tal?

Ja detta talet är ju delbart med 2 och således jämnt och därmed är beviset klart, men själva insikten att blanda in 2k i VL förstår jag inte. Det jag tror jag är med på är att ${\left(p+1\right)}^2+p+1 detta uttrycket kommer ju ifrån att man satt in p+1 i n^2+n$. 

Vidare har du likställt detta med utvidgandet av parentesen, förenklat men sedan kommer 2k in helt plötsligt. Det förstår jag inte, ser inte den kopplingen. 

Vilket är ditt induktionsantagande? Det är inte att n = p.

Hej,

Ett induktionsbevis.

Steg 1. Visa att påståendet är sant för $n=1$.

Steg 2. Anta att påståendet är sant för ett visst positivt heltal $n$.

Steg 3. Visa att påståendet är sant för nästa positiva heltal.

Steg 4. Enligt Induktionsaxiomet är påståendet sant för alla positiva heltal.

Steg 1. Heltalet $1^2+1$ är jämnt varför påståendet är sant för $n=1$.

Steg 2. Anta att det finns ett positivt heltal $n$ sådant att $n^2+n$ är ett jämnt tal.

Steg 3. Visa att $(n+1)^2+(n+1)$ är ett jämnt tal.

Uttrycket skrivs

    $\displaystyle n^2+2n+1+n+1=\left(n^2+n\right)+2\left(n+1\right).$

Du vet att $n^2+n$ är ett jämnt tal och det är ett faktum att $2(n+1)$ är ett jämnt tal.

Steg 4. Enligt Induktionsaxiomet är $n^2+n$ jämnt tal för varje val av positivt heltal $n$.

PhiFre skrev:

...

"Visa att följande uttryck är jämna tal för alla tal n."

"$n^2+n"$

...

Så här lyder säkerligen inte uppgiften.

• Troligtvis står det "... för alla positiva heltal n".
• Möjligtvis står det "... för alla heltal n", i vilket fall du även måste visa att uttrycket är ett jämnt tal för alla icke-positiva heltal n.

$(p\pm 1)^2+p\pm 1=$
$p^2\pm 2p+1+p\pm 1=$
...

Om det ska visas att $n^2 + n$ är jämnt för alla heltal $n$ med induktion behöver vi egentligen genomföra två induktionsbevis:

1. Visa med induktion att $n^2 + n$ är jämnt för alla positiva heltal $n$.

2. Visa med induktion att $(-n)^2 + (-n)$ är jämnt för alla positiva heltal $n$.

(Samt även visa att vi får ett jämnt tall i fallet $n=0$ men det är ju uppenbart).

Det blir lite omständligt när man egentligen kan bevisa samma påstående i en mening genom att faktorisera uttrycket som Albiki gjorde ovan.

Uppgiften är säkert till för att träna på induktionsbevis med ett enkelt fall. 

Yngve skrev:

PhiFre skrev:

...

"Visa att följande uttryck är jämna tal för alla tal n."

"$n^2+n"$

...

Så här lyder säkerligen inte uppgiften.

• Troligtvis står det "... för alla positiva heltal n".
• Möjligtvis står det "... för alla heltal n", i vilket fall du även måste visa att uttrycket är ett jämnt tal för alla icke-positiva heltal n.

Hej,

Nej det har du rätt i. Det ska stå;

"Visa att följande uttryck är jämna tal för alla $\mathit{n}\mathit{a}\mathit{t}\mathit{u}\mathit{r}\mathit{l}\mathit{i}\mathit{g}\mathit{a}$ tal n."

"a) $n^2+n$"

Alltså så ska $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$

Ok, isf menas 0,1,2,... alt. 1,2,3,...

Troligen den första varianten, se:

https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Naturliga_tal

Boken verkar ju vara svensk och då ingår nollan.

Ditt induktionsantagande borde vara "Anta att n²+n är jämnt". Då är uppdraget att visa att I SÅ FALL är (n+1)²+n+1 jämnt. 

(n+1)²+n+1 = n²+2n+1+n+1 = n²+n+2n+2. 2n och 2 är naturligtvis jämna. Enligt induktionsantagandet är n²+n jämnt. Detta medför att hela uttrycket är jämnt, vilket (tillsammans med basfallet) enligt induktionspricipen visar att uttrycket är jämnt för alla naturliga tal n.