Induktionsbevis

Utmärkt början! Nu vore det trevligt om vi kunde ta vårt induktionssteg och dela upp likheten så att vi fårnågot i stil med:

${\mathrm{antagande}}_{\mathrm{VL}}+{\mathrm{steg}}_{k\mathit{+}\mathit{1}}={\mathrm{antagande}}_{\mathrm{HL}}+{\mathrm{steg}}_{k\mathit{+}\mathit{1}}$

Eftersom vi har en summa i VL kan vi ganska lätt dela upp vänsterledet i vårt antagande och vårt induktionssteg:

$2·2^0+3·2^1+...+(k+1)·2^{k-1}+(k+2)·2^k$

HL då? Ja, vi vill ju dela upp så att vi kommer till $k·2^k+{\mathrm{steg}}_{k+1}$ i HL. Vi provar att utveckla vårt nuvarande HL något. 

$$\begin{gathered} \left(k+1\right)·2^{k+1}=\left(k+1\right)·2·2^k=\left(k+1\right)·2^k+\left(k+1\right)·2^k= \\ \left(k+1\right)·2^k+k·2^k+2^k=\left(\left(k+1\right)+1\right)·2^k+k·2^k=(k+2)·2^k+k·2^k \end{gathered}$$

Börjar det klarna lite? :)

Smutstvätt skrev:

Utmärkt början! Nu vore det trevligt om vi kunde ta vårt induktionssteg och dela upp likheten så att vi fårnågot i stil med:

${\mathrm{antagande}}_{\mathrm{VL}}+{\mathrm{steg}}_{k\mathit{+}\mathit{1}}={\mathrm{antagande}}_{\mathrm{HL}}+{\mathrm{steg}}_{k\mathit{+}\mathit{1}}$

Eftersom vi har en summa i VL kan vi ganska lätt dela upp vänsterledet i vårt antagande och vårt induktionssteg:

$2·2^0+3·2^1+...+(k+1)·2^{k-1}+(k+2)·2^k$

HL då? Ja, vi vill ju dela upp så att vi kommer till $k·2^k+{\mathrm{steg}}_{k+1}$ i HL. Vi provar att utveckla vårt nuvarande HL något. 

$$\begin{gathered} \left(k+1\right)·2^{k+1}=\left(k+1\right)·2·2^k=\left(k+1\right)·2^k+\left(k+1\right)·2^k= \\ \left(k+1\right)·2^k+k·2^k+2^k=\left(\left(k+1\right)+1\right)·2^k+k·2^k=(k+2)·2^k+k·2^k \end{gathered}$$

Börjar det klarna lite? :)

Förstod VL men utvecklingen av HL förstod jag inte. Förstår inte hur (k+1) * 2^k+1 = (k+1) * 2 * 2^k

$2^{k+1} = 2\cdot 2^k$.

Summan för n termer N2^N plus termen för N+1, som är (N+2)2^N skall bli summan för n+1 termer (N+1)2ⁿ⁺¹,

d v s N2^N +(N+2)2^N =(2N+2)2^N =(N+1)2^N+1 QED