5 svar
171 visningar
melinasde behöver inte mer hjälp
melinasde 236 – Fd. Medlem
Postad: 13 feb 2020 12:28

Induktionsbevis?

Hej! Jag försöker lösa den här uppgiften med ett induktionsbevs men har lite svårt för när det kommer till bevisdelen, har gjort en påbörjad lösning men vet sen inte hur jag ska fortsätta. Hur ska man använda sig av antagandet för att bevisa satsen?

dr_lund 1177 – Fd. Medlem
Postad: 13 feb 2020 13:36 Redigerad: 13 feb 2020 13:44

Induktionsantagande: Antag att följande påstående är sant

k=1p2k=2p+1-2\sum_{k=1}^p 2^k=2^{p+1}-2.

Visa att då måste följande också vara sant:

k=1p+12k=2p+2-2\sum_{k=1}^{p+1} 2^k=2^{p+2}-2

Men

k=1p+12k=k=1p2k+2p+1term  p+1\sum_{k=1}^{p+1} 2^k=\sum_{k=1}^{p} 2^k+\underbrace{2^{p+1}}_{term\quad p+1}.

Sätt in induktionsantagandet i första term i HL ovan, och du är hemma

cjan1122 416
Postad: 13 feb 2020 13:43 Redigerad: 13 feb 2020 13:43

Du antar att formeln gäller för p d.v.s (2p+1-2). Sedan ska du försöka visa att formlens uttryck för p+1 är lika med uttrycket för p plus nästa term i serien.

Med andra ord, kan du bevisa att 2(p+1)+1-2 = 2p+1-2 + 2p+1

melinasde 236 – Fd. Medlem
Postad: 13 feb 2020 13:46
cjan1122 skrev:

Du antar att formeln gäller för p d.v.s (2p+1-2). Sedan ska du försöka visa att formlens uttryck för p+1 är lika med uttrycket för p plus nästa term i serien.

Med andra ord, kan du bevisa att 2(p+1)+1-2 = 2p+1-2 + 2p+1

förstår inte varför du har ytterligare en term där 2^p+1, är inte sista steget bara att man ersätter n med p+1? Varför ska jag då lägga till 2^p+1 när jag redan har 2^p+1 -2?

cjan1122 416
Postad: 13 feb 2020 14:09 Redigerad: 13 feb 2020 14:11
melinasde skrev:
cjan1122 skrev:

Du antar att formeln gäller för p d.v.s (2p+1-2). Sedan ska du försöka visa att formlens uttryck för p+1 är lika med uttrycket för p plus nästa term i serien.

Med andra ord, kan du bevisa att 2(p+1)+1-2 = 2p+1-2 + 2p+1

förstår inte varför du har ytterligare en term där 2^p+1, är inte sista steget bara att man ersätter n med p+1? Varför ska jag då lägga till 2^p+1 när jag redan har 2^p+1 -2?

Det formeln antar är ju att summan S(p)= 21+22+23+...+2p = 2p+1-2

Om vi nu ska ta p+1 så får vi undersöka om  S(p+1) = 21+22+23+...+2p+2p+1 = 2(p+1)+1-2                                    S(p)                                         S(p+1)

 

Om S(P) + nästa term i ursprungsserien (2p+1) är lika med S(P+1) så har du bevisat ditt antagande

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 13 feb 2020 16:01

Börja med att ersätta summan av de p första termerna i vänsterledet med 2p+1 -2 enligt induktionsantagandet. Då blir vänsterledet 2p+1-2+2p+1. Kan du skriva om detta så att det blir till högerledet?

Svara
Close